Để tính xấp xỉ giá trị $\sqrt{p}$, người ta có thể dùng dãy số cho bởi hệ thức truy hồi sau:

u₁ = k, $u_n=\frac{1}{2}\left(u_{n-1}+\frac{p}{u_{n-1}}\right)$ với n ≥ 2,

ở đó k là một giá trị dự đoán ban đầu của $\sqrt{p}$.

Sử dụng hệ thức truy hồi này, hãy tính xấp xỉ các giá trị sau bằng cách tính u₅ và tính sai số tuyệt đối khi so với giá trị tính bằng máy tính cầm tay (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ năm).

a) $\sqrt{5}$ (lấy k = 3);

a) Với p = 5 thì $\sqrt{5}$≈ 2,23607. Nếu ta chọn u₁ = 3 thì ta có:

u₁ = 3

$u_2=\frac{1}{2}\left(u_1+\frac{5}{u_1}\right)=\frac{1}{2}\left(3+\frac{5}{3}\right)$≈ 2,3333

$u_3=\frac{1}{2}\left(u_2+\frac{5}{u_2}\right)=\frac{1}{2}\left(2,3333+\frac{5}{2,3333}\right)$≈  2,2381

$u_4=\frac{1}{2}\left(u_3+\frac{5}{u_3}\right)=\frac{1}{2}\left(2,2381+\frac{5}{2,2381}\right)$≈ 2,2361

$u_5=\frac{1}{2}\left(u_4+\frac{5}{u_4}\right)=\frac{1}{2}\left(2,2361+\frac{5}{2,2361}\right)$≈ 2,2361

Sai số tuyệt đối xấp xỉ bằng 2,2361 – 2,23607 = 0,00003.