Điều kiện $\sin x\ge 0$ .

Ta có $\sqrt{m+2\sqrt{m+2\sin x}}=\sin x\iff m+2\sqrt{m+2\sin x}={\sin }^{2}x$ .

$\iff m+2\sin x+2\sqrt{m+2\sin x}={\sin }^{2}x+2\sin x$ (1)

Xét hàm số  $f\left(t\right)=t^2+2t$

$f^{\text{'}}\left(t\right)=2t+2>0,\forall t\ge 0\Rightarrow$ Hàm số  $f\left(t\right)$đồng biến trên $\left[0;+\infty \right)$ .

Phương trình  $\left(1\right)\iff f\left(\sqrt{m+2\sin x}\right)=f\left(\sin x\right)\iff \sqrt{m+2\sin x}=\sin x$

 $\iff {\sin }^{2}x-2\sin x=m$

Đặt  $\sin x=t\Rightarrow t\in \left[0;1\right]$

Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình $t^2-2t=m$  có nghiệm trên $\left[0;1\right]$ .

Xét hàm số $g\left(t\right)=t^2-2t$ ,  $t\in \left[0;1\right]$

Ta có  $g^{\text{'}}\left(t\right)=2t-2;g^{\text{'}}\left(t\right)=0\iff t=1$

Suy ra  $\underset{\left[0;1\right]}{max}g\left(t\right)=0;\underset{\left[0;1\right]}{\min }g\left(t\right)=-1$

Do đó phương trình có nghiệm khi và chỉ khi  $-1\le m\le 0$

Mà  $m\in \mathbb{Z}$nên $m=0;m=-1$ .

Chọn D.