Chứng tỏ rằng với mọi số tự nhiên n thì n²+ n + 1 là số lẻ.

Lời giải:

Ta có: n²+ n + 1 = (n . n + n) + 1 = n(n + 1) + 1

Vì n và n + 1 là hai số tự nhiên liên tiếp nên trong hai số n và n + 1, có một số là số chẵn.

TH1: n là số chẵn nên n ⁝ 2

Suy ra n(n + 1) ⁝ 2 (theo tính chất chia hết của một tích).

TH2: n + 1 là số chẵn nên (n + 1) ⁝ 2

Suy ra n(n + 1) ⁝ 2 (theo tính chất chia hết của một tích).

Do vậy trong mọi trường hợp thì n(n + 1) đều chia hết cho 2 nên nó là số chẵn, mà 1 là số lẻ nên n(n + 1) + 1 là số lẻ.

Vậy với mọi số tự nhiên n thì n²+ n + 1 là số lẻ.