Chứng minh: Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.

Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau.

Ta cần chứng minh rằng tồn tại một đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (P) sao cho đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (Q).

Thật vậy, ta lấy:

⦁ d là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q);

⦁ a là đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P) sao cho a ⊥ d;

· O là giao điểm của đường thẳng a và mặt phẳng (Q).

Do hai mặt phẳng (P) và (Q) cùng chứa điểm O nên hai mặt phẳng đó cắt nhau theo giao tuyến d đi qua O.

Trong mặt phẳng (Q), qua O kẻ đường thẳng b vuông góc với d.

Như vậy ta có: d là cạnh của góc nhị diện [P, d, Q];

                         a ⊂ (P) và a ⊥ d tại O (với O ∈ d);

                         b ⊂ (Q) và b ⊥ d tại O (với O ∈ d);

Suy ra $\widehat{aOb}$ là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [P, d, Q].

Mặt khác (P) ⊥ (Q) nên góc nhị diện [P, d, Q] vuông hay $\widehat{aOb}=90°.$

Suy ra a ⊥ b.

Ta có: a ⊥ d, a ⊥ b và d ∩ b = O trong (Q).

Suy ra a ⊥ (Q).

Vậy nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.