Cho tứ diện đều ABCD, M là trung điểm của cạnh BC. Tính góc giữa AB và DM.

Trả lời

Cho N là trung điểm của cạnh AC.

Þ MN là đường trung trực của ∆ABC.

Þ MN // AB Û (AB, DM) = (MN, DM) = $\widehat{DMN}$

Lại có: ∆BCD và ∆ACD là các tam giác đều (theo giả thiết).

Giả sử ABCD là tứ diện đều cạnh a.

Þ DM = DN = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ ; MN = $\frac{AB}{2}$  = $\frac{a}{2}$ .

Áp dụng định lý hàm cos trong ∆DMN, ta có:

$\cos \widehat{DMN}=\frac{D{M}^2+M{N}^2-D{N}^2}{2.DM.MN}=\frac{\sqrt{3}}{6}$

Do đó (AB, DM) = $\widehat{DMN}$ ≈ 73,22°.