Cho $\Delta ABC$   có  góc nhọn $\left(AB>AC\right)$  nội tiếp đường tròn $\left(O;R.\right)$ .Hai đường cao AD và BE   cắt nhau tại  H

1 . Chứng minh : Tứ giác CEHD nội tiếp.

2 .   Vẽ đường kính AH của đường tròn (O)   .Chứng minh :$AC.AB=AK.AD.$

3 .    Kẻ  KI vuông góc với $BC\left(I\in BC\right).$  Chứng minh :

$a)\frac{AB}{BK}=\frac{IC}{IK} b)\frac{AC}{CK}+\frac{AB}{BK}=\frac{BC}{IK}$

$1)\angle CEH+\angle HDC=180°\Rightarrow CEHD$là tứ giác nội tiếp

$2)\angle ADC=\angle ABK=90°$; $\angle ACD=\angle AKB$(cùng chắn cung AB)

$\Rightarrow \Delta DCA\backsim \Delta BKA(g-g)\Rightarrow \frac{AC}{AK}=\frac{AD}{AB}\Rightarrow AC.AB=AK.AD$

$3\left)a\right)c/m\Delta BAK\backsim \Delta ICK(g-g)\Rightarrow \frac{AB}{BK}=\frac{IC}{IK}$

C/m $\Delta CAK\backsim \Delta IBK$(g-g)$\Rightarrow \frac{AC}{CK}=\frac{IB}{IK}\left(1\right)$mà $\frac{AB}{BK}=\frac{IC}{IK}\left(2\right)$

Cộng (1) và $\left(2\right)\Rightarrow \frac{AK}{CK}+\frac{AB}{BK}=\frac{BC}{IK}$