Cho phương trình: $x^2-2\left(m-1\right)x-m-3=0\left(1\right)$

1)     Giải phương trình $\left(1\right)$  với   $m=-3$ 

2)    Chứng tỏ rằng phương trình  $\left(1\right)$   luôn có hai nghiệm phân biệt  với mọi 

3)    Tìm  m  để phương trình (1)    có hai nghiệm thỏa mãn hệ thức $x_1^2+x_2^2=8$

1)Khi $m=-3,$phương trình thành $x^2+8x=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=-8\end{array}\right.$

2) $x^2-2\left(m-1\right)x-m-3=0\left(1\right)$

$\Delta \text{'}={\left(m-1\right)}^2-\left(-m-3\right)=m^2-m+4>0$

Nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

3) Áp dụng định lý $Vi-et$ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2m-2\\ x_1{x}_2=-m-3\end{array}\right.$

$\begin{array}{l}{x}_1^2+x_2^2=8\iff {\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2=8\\ \iff {\left(2m-2\right)}^2+2m+6=8\iff 4m^2-6m+2=0\iff \left[\begin{array}{l}m=1\\ m=\frac{1}{2}\end{array}\right.\end{array}$