Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB  Gọi C, D  thuộc nữa đường tròn (  C thuộc cung  AD) AD  cắt BC  tại H, AC   cắt BD  tại E    Chứng minh rằng:

a, EH vuông góc với AD 

b)Vẽ tiếp tuyến với đường tròn tại D  cắt  EH tại I  Chứng minh rằng : I  là trung điểm của  EH

a)    $\Delta ABC$nội tiếp $\left(O;\frac{AB}{2}\right)\Rightarrow \Delta ABC$vuông tại C 

$\Delta ADB$nội tiếp $\left(O;\frac{AB}{2}\right)\Rightarrow \Delta ABD$vuông tại D $\Rightarrow AD\perp BD$$\Rightarrow AC\perp BC$

$\Delta EAB$có ; $AD\perp EB,BC\perp AE,AD\cap BC=\left\{H\right\}$

Nên H là trực tâm $\Delta AEB\Rightarrow EH\perp AB$
b) Có $\angle IDA=\angle DAB$(cùng chắn $\stackrel{⏜}{AD})\left(1\right)$

$EH\perp AB\Rightarrow \angle DBA+\angle E_1=90°$

$\Delta EHD$vuông tại D$\Rightarrow \angle EHD+\angle E_1=90°$$\Rightarrow \angle DBA=\angle EHD\left(2\right)$

Từ (1) và (2)$\Rightarrow \angle IDA=\angle EHD\Rightarrow \Delta IHD$cân tại $I\Rightarrow ID=IH$

Lại có : $\angle IDA+\angle IDE=90°,\angle EHD+\angle E_1=90°$mà $\angle IDA=\angle EHD$

$\Rightarrow \angle IDE=\angle E_1\Rightarrow \Delta IED$cân tại $I\Rightarrow IE=ID$

Mà $ID=IH\Rightarrow IE=IH\Rightarrow I$là trung điểm EH