Cho nữa đường tròn tâm O đường kính  ABC là  một điểm nằm giữa O   và A  .  Đường thẳng vuông góc với AB  Tại  C   cắt nữa đườn tròn trên tại IK    là một điểm bất kỳ nằm trên đoạn thẳng  CI (K  khác C  và  I),  tia AK    cắt nữa đường tròn  (O)   tại  M   tia  BM   cắt tia  CI   tại  D   Chứng minh:

1)     Các tứ giác : $ACMD;BCKM$    nội tiếp đường tròn .

2)   $CK.CD=CA.CB$

3)    Gọi N  là giao điểm của  AD  và đường tròn (O)  chứng minh  B,K,N   thẳng hàng.

4)    Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác  AKD Nằm trên một đường thẳng cố định khi K  di động trên đoạn thẳng CI

1)  

Xét tứ giác $ACMD$ có: $\angle DMA=\angle DCA=90°$, $\angle BMA=\angle DCA$cùng chắn $\stackrel{⏜}{AD}$

$\Rightarrow ACMD$là tứ giác nội tiếp

Xét tứ giác $BCKM$có $\angle BKM+\angle BCK=90°+90°=180°$

$\Rightarrow BCKM$là tứ giác nội tiếp

2, $\Delta ABM$Xét có $\angle A_1+\angle B_1+\angle AMD=180°\Rightarrow \angle A_1+\angle B_1=90°\left(1\right)$

Xét $\Delta AKC$có: $\angle K_1+\angle A_1+\angle KCA=180°\Rightarrow \angle K_1+\angle A_1=90°\left(2\right)$

Từ $\left(1\right),\left(2\right)\Rightarrow \angle B_1=\angle K_1$ và $\angle KCA=\angle BCD=90°$

$\Rightarrow \Delta CKA\backsim \Delta CBD(g.g)\Rightarrow \frac{CK}{CB}=\frac{CA}{CD}\Rightarrow CK.CB=CA.CB$

4) Lấy Eđối xứng với B qua C thì E cố định và $\angle EDC=\angle BDC$

Lại có $\angle BDC=\angle CAK$(cùng phụ với $\angle B)\iff \angle EDC=\angle CAK$

Do đó $AKDE$là tứ giác nội tiếp

Gọi O'là tâm đường tròn ngoai tiếp $\Delta AKD$thì O' cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp $AKDE\Rightarrow O\text{'}A=O\text{'}E\Rightarrow O\text{'}\in$trung trực của AE cố định