Phương trình $z^2+mz+5=0$ có hai nghiệm phức $z_1,z_2$ thì hai nghiệm phức là hai số liên hợp của nhau nên $\left|z_1\right|+\left|z_2\right|=2\left|z_1\right|$

Gọi $z_1=a+i,(a\in ℝ)$ là một nghiệm của phương trình.

Ta có ${(a+i)}^2+m(a+i)+5=0\iff \left(a^2+ma+4\right)+(2a+m)i=0$

$\iff \left\{\begin{array}{l}{a}^2+ma+4=0\\ 2a+m=0\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}{a}^2-2a^2+4=0\\ m=-2a\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}a=2\\ m=-4\end{array}\right.\right.\right.$ hoặc $\iff \left\{\begin{array}{l}a=-2\\ m=4\end{array}\right.$

Suy ra $z_1=2+i$ hoặc $z_1=-2+i.$ Do đó $z_1=-2+i.$

Vậy $\left|z_1\right|+\left|z_2\right|=2\sqrt{5}.$

Chọn C