Khi quay tam giác ABD quanh AB ta được khối nón đỉnh B có đường cao BA, đáy là đường tròn bán kính AE = 3cm. Gọi $I=AC\cap BE, IH\perp AB$, tại H.

Phần chung của 2 khối nón khi quay tam giác ABC và tam giác ABD quanh AB là 2 khối nón đỉnh A và đỉnh B có đáy là đường tròn bán kính IH.

Ta có $\Delta IBC$ đồng dạng với $\Delta IEA\Rightarrow \frac{IC}{IA}=\frac{BC}{AE}=\frac{1}{3}\Rightarrow IA=3IC$

Mặt khác $IH\text{ // BC}\Rightarrow \frac{AH}{AB}=\frac{IH}{BC}=\frac{AI}{AC}=\frac{3}{4}\Rightarrow IH=\frac{3}{4}BC=\frac{3a}{4}$

Gọi $V_1;{\text{ V}}_2$ lần lượt là thể tích của khối nón đỉnh A và B có đáy là hình tròn tâm H.

$$\begin{gathered} V_1=\frac{1}{3}\pi I{H}^2.AH;{\text{ V}}_2=\frac{1}{3}\pi I{H}^2.BH \\ \Rightarrow V=V_1+V_2\Rightarrow V=\frac{\pi }{3}I{H}^2.AB\Rightarrow V=\frac{\pi }{3}.\frac{9a^2}{16}.a\sqrt{3}\Rightarrow V=\frac{3a^3\sqrt{3}}{16}\pi \end{gathered}$$