Cho hình trụ có đáy là hai đường tròn tâm O và O', bán kính đáy bằng chiều cao và bằng 2a.

Cho hình trụ có đáy là hai đường tròn tâm O và O', bán kính đáy bằng chiều cao và bằng 2a. Trên đường tròn đáy có tâm ( lấy điểm A, trên đường tròn tâm O' lấy điểm B. Đặt $\alpha$ là góc giữa AB và đáy. Tính tan $\alpha$ khi thể tích khối tứ diện OO'AB đạt giá trị lớn nhất.

Trả lời

Gọi D là hình chiếu vuông góc của B lên mặt phẳng (O). Kẻ $AH\perp OD,H\in OD.$

Ta có thể tích của khối chóp OO'AB là

$V_{O{O}^{\text{'}}AB}=\frac{1}{3}AH.S_{△O{O}^{\text{'}}B}=\frac{2a^2}{3}.AH\le \frac{2a^2}{3}.AO=\frac{4a^3}{3}.$

${\left(V_{O{O}^{\text{'}}AB}\right)}_{\max }\iff H\equiv O.$

Suy ra $AD=2\sqrt{2}a.$ Vậy $\tan \alpha =\tan \widehat{BAD}=\frac{1}{\sqrt{2}}.$

Chọn B