Xét mặt cắt qua trục hình nón và kí hiệu như hình vẽ. Với O, I lần lượt là tâm đáy của hình nón $\left(N_1\right),\left(N_2\right)$; R, r lần lượt là các bán kính của hai đường tròn đáy của $\left(N_1\right),\left(N_2\right)$

Ta có $\frac{SI}{SO}=\frac{r}{R}\iff \frac{h-x}{h}=\frac{r}{R}\to r=\frac{R\left(h-x\right)}{h}$

Thể tích khối nón$\left(N_2\right)$ là

$V_{\left(N_2\right)}=\frac{1}{3}\pi r^{2}x=\frac{1}{3}\pi \frac{R^2{\left(h-x\right)}^2}{h^2}x=\frac{\pi R^2}{3h^2}.x{\left(h-x\right)}^2$

Xét hàm $f\left(x\right)=x{\left(h-x\right)}^2=x^3-2h{x}^2+h^{2}x$ trên (0;h). Ta có

$f^{\text{'}}\left(x\right)=3x^2-4hx+h^2;\left(x\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}x=h\\ x=\frac{h}{3}\end{array}\right.$

Lập bảng biến thiên ta có

Vậy f(x) đạt giá trị lớn nhất trên khoảng (0;h) tại $x=\frac{h}{3}$