Giả sử thiết diện là tam giác SAB, khi đó ta có

$$\begin{gathered} SA+SB+AB=2\left(1+\sqrt{5}\right)a \\ \iff a\sqrt{5}+a\sqrt{5}+AB=2\left(1+\sqrt{5}\right)a \\ \iff AB=2a \end{gathered}$$

Gọi E là trung điểm AB, ta có $AB\perp SE$, mặt khác $AB\perp \left(SOE\right)$nên $AB\perp \left(SOE\right)$

Kẻ $OH\perp SE$tại H, ( $H\in SE$ ).

Ta thấy $OH\perp AB$ vì $OH\subset \left(SOE\right)\Rightarrow OH\perp \left(SAB\right)$

Vậy khoảng cách từ S đến (P) là OH (hay $d\left(O;\left(P\right)\right)=OH$).

$$\begin{gathered} EB=\frac{1}{2}AB=a,OB=R=2a,OE=\sqrt{O{B}^2-E{B}^2}=\sqrt{4a^2-a^2}=a\sqrt{3} \\ SO=\sqrt{S{B}^2-O{B}^2}=\sqrt{5a^2-4a^2}=a \\ OH=\frac{OS.OE}{\sqrt{O{S}^2+O{E}^2}}=\frac{a.a\sqrt{3}}{\sqrt{a^2+3a^2}}=\frac{a\sqrt{3}}{2} \end{gathered}$$