Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có thể tích bằng 1. Gọi (N) là một hình nón có tâm đường tròn đáy trùng với tâm của hình vuông ABCD, đồng thời các điểm A', B', C', D' nằm trên các đường sinh của hình nón như hình vẽ. Thể tích khối nón (N) có giá trị nhỏ nhất bằng

Xét phần mặt cắt qua trục hình nón và đi qua mặt phẳng (AA'C'C), kí hiệu như hình vẽ. Với I, H lần lượt là tâm của hình vuông ABCD, A'B'C'D' và đỉnh A'nằm trên đường sinh EF của hình nón.

Hình lập phương có thể tích bằng 1 nên AA'$=HI=1,A^{\text{'}}H=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Đặt EH = x (x > 0). Khi đó, ta có

$\frac{EH}{EI}=\frac{A^{\text{'}}H}{FI}\iff \frac{x}{x+1}=\frac{\sqrt{2}}{2FI}\to FI=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\frac{x+1}{x}\right)=r$

Thể tích khối nón (N) là

$V_{\left(N\right)}=\frac{1}{3}\pi r^{2}EI=\frac{1}{6}\pi {\left(\frac{x+1}{x}\right)}^2\left(x+1\right)=\frac{\pi }{6}\frac{{\left(x+1\right)}^3}{x^2}$

Xét hàm số $f\left(x\right)=\frac{{\left(x+1\right)}^3}{x^2}$ trên $\left(0;+\infty \right)$. Ta có $f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{\left(x-2\right){\left(x+1\right)}^2}{x^3}$

Lập bảng biến thiên

Ta được $\underset{\left(0;+\infty \right)}{\min }f\left(x\right)=\frac{27}{4}$ tại x = 2. Suy ra $\min V_{\left(N\right)}=\frac{9\pi }{8}$