Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy bằng 60 độ. Tính khoảng cách từ A đến (SBC).

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy bằng 60 độ. Tính khoảng cách từ A đến (SBC).

Trả lời
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy bằng 60 độ. Tính khoảng cách từ A đến (SBC). (ảnh 1)

Gọi O = AC ∩ BD SO (ABCD)

Khi đó OB là hình chiếu của SB trên (ABCD)

 SB,ABCD=SB,OB=SBO^=60°

Gọi M là trung điểm BC, dựng OH SM

Ta có: OM BC (vì OM là đường trung bình trong tam giác ABC nên OM // AB, mà AB BC)

Ta có: SO (ABCD) nên SO BC

Suy ra: BC (SOM) BC OH

Mà OH SM

Nên OH (SBC) hay d(O, (SBC)) = OH

AO ∩ (SBC) = {C} nên dA,SBCdO,SBC=ACOC=2 

Hay d(A, (SBC)) = 2d(O, (SBC)) = 2OH (*)

ABCD là hình vuông cạnh a nên BD=a2BO=a22

OM=12AB=a2

Lại có: SO (ABCD) nên SO OB nên tam giác SOB vuông tại O

Suy ra: SO = OB.tan60° = a22.tan60 °=a62

Xét trong tam giác SOM vuông tại O, có OH là đường cao

Áp dụng hệ thức lượng và Pytago trong tam giác vuông có: SO.OM = OH.SM

⇒ OH=SO.OMSO2+OM2=a62.a2a622+a22=a4214

Từ (*) suy ra: d(A, (SBC)) = 2OH = a427.

Câu hỏi cùng chủ đề

Xem tất cả