Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, hai đường thẳng AC và BD cắt nhau tại O, SO ⊥ (ABCD)

Bài 2 trang 94 Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, hai đường thẳng AC và BD cắt nhau tại O, SO ⊥ (ABCD), tam giác SAC là tam giác đều.

a) Tính số đo của góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABCD).

b) Chứng minh rằng AC ⊥ (SBD). Tính số đo của góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (SBD).

c) Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Tính số đo của góc nhị diện [M, SO, D].

Trả lời

a) Ta có SO ⊥ (ABCD) nên OA là hình chiếu của SA trên (ABCD).

Suy ra góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABCD) bằng $\widehat{SAO}.$

Vì tam giác SAC là tam giác đều nên $\widehat{SAO}=60°.$

Vậy số đo của góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABCD) bằng 60°.

b) Ta có: SO ⊥ (ABCD) và AC ⊂ (ABCD) nên SO ⊥ AC.

Vì ABCD là hình vuông nên AC ⊥ BD.

Ta có: AC ⊥ SO, AC ⊥ BD và SO ∩ BD = O trong (SBD).

Suy ra AC ⊥ (SBD).

Hay AO ⊥ (SBD) nên SO là hình chiếu của SA trên (SBD).

Suy ra góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (SBD) bằng $\widehat{ASO}.$

Do ∆SAC đều nên đường cao SO đồng thời là đường phân giác của góc ASC.

Do đó $\widehat{ASO}=\frac{\widehat{ASC}}{2}=\frac{60°}{2}=30°.$

Vậy góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (SBD) bằng 30°.

c) Ta có AC ∩ BD = O.

Vì O ∈ BD mà BD ⊂ (SBD) nên O ∈ (SBD).

Suy ra O = AC ∩ (SBD).

Mặt khác AC ⊥ (SBD).

Từ đó ta có O là hình chiếu của A trên (SBD).

Mà S ∈ (SBD) nên ta có SO là hình chiếu của SA trên (SBD).

Như vậy, góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (SBD) bằng góc giữa hai đường thẳng SA và SO và bằng $\widehat{ASO}.$

Vì ABCD là hình vuông và AC ∩ BD = O nên O là trung điểm của AC và BD.

Xét tam giác SAC đều có SO là đường trung tuyến (do O là trung điểm của AC).

Suy ra SO cũng là đường phân giác của $\widehat{ASC}.$

Khi đó $\widehat{ASO}=\frac{\widehat{ASC}}{2}=\frac{60°}{2}=30°.$

Vậy số đo của góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (SBD) bằng 30°.

c) Ta có: SO ⊥ (ABCD) và MO ⊂ (ABCD), DO ⊂ (ABCD).

Suy ra SO ⊥ MO, SO ⊥ DO.

Mà MO ∩ SO = O ∈ SO.

Như vậy, $\widehat{MOD}$ là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [M, SO, D].

Vì ABCD là hình vuông và O là giao điểm của AC và BD nên AC ⊥ BD tại O

Suy ra: $\widehat{AOD}=\widehat{AOB}=90°$ và OA = OB.

Như vậy tam giác OAB vuông cân tại O.

Mặt khác OM là đường trung tuyến trong tam giác OAB (do M là trung điểm của AB).

Suy ra OM là đường phân giác của $\widehat{AOB}.$

Do đó $\widehat{MOA}=\frac{\widehat{AOB}}{2}=\frac{90°}{2}=45°.$

Ta có: $\widehat{MOD}=\widehat{MOA}+\widehat{AOD}=45°+90°=135°.$

Vậy số đo của góc nhị diện [M, SO, D] bằng 135°.

Xem thêm các bài giải SGK Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác: