Gọi O là tâm của tam giác ABC, khi đó $SO\perp \left(ABC\right)$

Hình nón đỉnh S, có đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có đường sinh là SA, bán kính đường tròn đáy là OA.

Gọi H là trung điểm của BC thì 

Tam giác ABC đều và O là tâm của tam giác đều nên

$$\begin{gathered} OH=\frac{1}{3}AH=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{6} \\ OA=\frac{2}{3}AH=\frac{a\sqrt{3}}{3} \end{gathered}$$

Tam giác SOH vuông tại O và có $\widehat{SHO}=60°$nên $SO=OH.\tan 60°=\frac{a\sqrt{3}}{6}.\sqrt{3}=\frac{a}{2}$

Tam giác SOA vuông tại O nên $SA=\sqrt{S{O}^2+O{A}^2}=\sqrt{\frac{a^2}{4}+\frac{3a^2}{9}}=\frac{a\sqrt{21}}{6}$

Diện tích xung quanh hình nón là $S_{xq}=\pi r\mathcal{l}=\pi .OA.SA=\pi .\frac{a\sqrt{3}}{3}.\frac{a\sqrt{21}}{6}=\frac{\pi a^2\sqrt{7}}{6}$