Cho hình bình hành ABCD. Các tia phân giác của góc A, B, C, D cắt nhau như trên Hình

Cho hình bình hành ABCD. Các tia phân giác của góc A, B, C, D cắt nhau như trên Hình 3.58. Chứng minh rằng EFGH là hình chữ nhật.

Cho hình bình hành ABCD. Các tia phân giác của góc A, B, C, D cắt nhau như trên Hình (ảnh 1)

Trả lời
Cho hình bình hành ABCD. Các tia phân giác của góc A, B, C, D cắt nhau như trên Hình (ảnh 2)

Vì tứ giác ABCD là hình bình hành nên AB // CD hay AM // DN.

Suy ra ˆM1=ˆD2 (hai góc so le trong)

ˆD1=ˆD2 (vì DM là tia phân giác ^ADC).

Do đó ˆM1=ˆD1 nên tam giác ADM cân tại A.

Chứng minh tương tự, ta có tam giác BCN cân tại C.

ˆB1=ˆB2;  ˆD1=ˆD2 (vì DM, BN lần lượt là tia phân giác của ^ADC;  ^ABC).

^ADC=^ABC (vì tứ giác ABCD là hình bình hành).

Do đó ˆB1=ˆB2=ˆD1=ˆD2.

Tam giác ADM cân tại A, tam giác BCN cân tại C.

ˆB1=ˆD2 nên ˆM1=ˆN2 suy ra ˆM1=ˆN2.

Tứ giác BMDN có ˆB1=ˆD2 ;ˆM2=ˆN1 nên tứ giác BMDN là hình bình hành.

Suy ra DM // BN hay HE // GF.

Tam giác ADM cân tại A có AH là đường phân giác nên AH cũng là đường cao.

Suy ra ^AHE=90° nên ^EHG=90°.

Mà HE // GF suy ra ^AGF=90° (hai góc đồng vị).

Tương tự, ta cũng chứng minh được: ^HEF=90°;  ^GFE=90°.

Tứ giác EFGH có ^EHG=90°; ^AGF=90°; ^HEF=90°;  ^GFE=90°.

Do đó tứ giác EFGH là hình chữ nhật.