Cho hàm số $y=\frac{1}{4}\left(8m^3-1\right)x^4-2x^3+\left(2m-7\right)x^2-12x+2018$  với m là tham số. Số các giá trị nguyên m thuộc đoạn $\left[-2018;2018\right]$  để hàm số đã cho đồng biến trên $\left[\frac{-1}{2};\frac{-1}{4}\right]$  là

Tập xác định $D=ℝ$

Ta có  $y^{\text{'}}=\left(8m^3-1\right)x^3-6x^2+2\left(2m-7\right)x-12$

Hàm số đã cho đồng biến trên $\left[\frac{-1}{2};\frac{-1}{4}\right]$  khi và chỉ khi  $y^{\text{'}}\ge 0,\forall x\in \left[\frac{-1}{2};\frac{-1}{4}\right]$

$\iff \left(8m^3-1\right)x^3-6x^2+2\left(2m-7\right)x-12\ge 0,\forall x\in \left[\frac{-1}{2};\frac{-1}{4}\right]$

$\iff {\left(2mx\right)}^3+2\left(2mx\right)\ge {\left(x+2\right)}^3+2\left(x+2\right)$ (*), $\forall x\in \left[\frac{-1}{2};\frac{-1}{4}\right]$

Xét  $f\left(t\right)=t^3+2t;f^{\text{'}}\left(t\right)=3t^2+2>0,\forall t\in ℝ$

Suy ra $f\left(t\right)$  là hàm đồng biến trên R.

Từ (*) ta có  $2mx\ge x+2,\forall x\in \left[\frac{-1}{2};\frac{-1}{4}\right]\iff m\le \frac{x+2}{2x},\forall x\in \left[\frac{-1}{2};\frac{-1}{4}\right]$

$\iff m\le \underset{\left[\frac{-1}{2};\frac{-1}{4}\right]}{\min }\frac{x+2}{2x}\iff m\le -\frac{7}{2}$.

Do m nguyên và $m\in \left[-2018;2018\right]$  nên có 2015 giá trị của m thỏa mãn.

Chọn D