Cho hàm số y=x^2 + ax + b khi x lớn hơn bằng 2, biết hàm số có đạo hàm tại điểm x = 2. Giá trị của ab bằng

Cho hàm số $y=\left\{\begin{array}{l}{x}^2+ax+b\text{ khi }x\ge 2\\ x^3-x^2-8x+10\text{ khi }x<2\end{array}\right.$, biết hàm số có đạo hàm tại điểm x = 2. Giá trị của ab bằng

Trả lời

Để hàm số có đạo hàm tại x = 2 thì hàm số phải liên tục tại x = 2

Do đó $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\left(x^3-x^2-8x+10\right)=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\left(x^2+ax+b\right)\iff -2=4+2a+b\iff 2a+b=-6$

Hàm số có đạo hàm tại điểm x = 2 nên

$\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(2\right)}{x-2}=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(2\right)}{x-2}$

$\iff \underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{x^3-x^2-8x+10-(-2)}{x-2}=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{x^2+ax+b-(4+2a+b)}{x-2}$

$\iff \underset{x\to 2^{-}}{\lim }\left(x^2+x-6\right)=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }(x+2+a)$

$\iff 4+a=0\iff a=-4.$

Suy ra b = 2 Vậy ab = -8 .

Chọn D