Dựa vào bảng biên thiên ta có: $1\le f\left(x\right)\le 4,\forall x\in ℝ$

Xét $g\left(x\right)=2^{f\left(x\right)+\frac{4}{f\left(x\right)}}+{\log }_2\left[f^2\left(x\right)-4f\left(x\right)+5\right].$

$\Rightarrow g^{\text{'}}\left(x\right)={\left(f\left(x\right)+\frac{4}{f\left(x\right)}\right)}^{\text{'}}{2}^{f\left(x\right)+\frac{4}{f\left(x\right)}}\cdot \ln 2+\frac{{\left(f^2\left(x\right)-4f\left(x\right)+5\right)}^{\text{'}}}{\left(f^2\left(x\right)-4f\left(x\right)+5\right)\cdot \ln 2}$

$=f^{\text{'}}\left(x\right)\left(1-\frac{4}{f^2\left(x\right)}\right)2^{f\left(x\right)+\frac{4}{f\left(x\right)}}\cdot \ln 2+\frac{f^{\text{'}}\left(x\right)\cdot \left(2f\right(x)-4)}{\left(f^2\left(x\right)-4f\left(x\right)+5\right)\cdot \ln 2}$

$=f^{\text{'}}\left(x\right)\left(f\right(x)-2)\left[\left(\frac{f\left(x\right)+2}{f^2\left(x\right)}\right)2^{f\left(x\right)+\frac{4}{f\left(x\right)}}\cdot \ln 2+\frac{2}{\left(f^2\left(x\right)-4f\left(x\right)+5\right)\cdot \ln 2}\right].$

Khi đó $g^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}{f}^{\text{'}}\left(x\right)=0\\ f\left(x\right)=2\end{array}\iff \left[\begin{array}{l}x=1,x=2,x=3\\ x=\alpha \in (1,2);x=\beta \in (2,3)\end{array}\right.\right.$

Ta có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biên thiên ta có yêu cầu đề bài $\iff \left[\begin{array}{l}33<m<34,3\\ m=16\end{array}\right.$ mà $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{16,34\}.$ Vậy tổng các giá trị nguyên của tham số m là 50.

Chọn D