Cho hàm số $f\left(x\right)=x^5+3x^3-4m$ . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình  $f\left(\sqrt[3]{f\left(x\right)+m}\right)=x^3-m$có nghiệm trên đoạn $\left[1;2\right]$ ?

Đặt $t=\sqrt[3]{f\left(x\right)+m}\Rightarrow f\left(x\right)=t^3-m$ , kết hợp với phương trình ta có hệ phương trình

 $\left\{\begin{array}{l}f\left(t\right)=x^3-m\\ f\left(x\right)=t^3-m\end{array}\right.\Rightarrow f\left(t\right)+t^3=f\left(x\right)+x^3$ .(1)

Xét hàm số  $g\left(u\right)=f\left(u\right)+u^3=u^5+4u^3-4m$

$\Rightarrow g^{\text{'}}\left(u\right)=5u^4+12u^2>0,\forall u\in \left[1;2\right]\Rightarrow$ Hàm số đồng biến đoạn $\left[1;2\right]$ .

Do đó $\left(1\right)\iff t=x\iff f\left(x\right)=x^3-m\iff x^5+2x^3=3m$  (2)

Với  $x\in \left[1;2\right],3\le x^5+2x^3\le 48$

$\Rightarrow$ Phương trình (2) có nghiệm trên đoạn  $\left[1;2\right]\iff 3\le 3m\le 48\iff 1\le m\le 16$

Chọn B.