Cho hàm số  $f\left(x\right)=x^3+x$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình $f\left(f\left(x\right)\right)=x+2^m$  có nghiệm trên đoạn $\left[1;2\right]$ ?

Hàm số

$f\left(x\right)=x^3+x\Rightarrow f^{\text{'}}\left(x\right)=3x^2+1>0$,  $\forall x\in ℝ$

$\Rightarrow$ Hàm số $f\left(x\right)=x^3+x$  đồng biến trên R.

Ta có

 $\forall x\in \left[1;2\right]\Rightarrow f\left(1\right)\le f\left(x\right)\le f\left(2\right)\iff 2\le f\left(x\right)\le 10$

Xét phương trình

 $f\left(f\left(x\right)\right)=x+2^m\iff {\left[f\left(x\right)\right]}^3+f\left(x\right)=x+2^m$

$\iff {\left[f\left(x\right)\right]}^3+x^3=2^m$(1)

Xét $\forall x\in \left[1;2\right];2^3+1^3\le {\left[f\left(x\right)\right]}^3+x^3\le {10}^3+2^3$

 $\iff 9\le {\left[f\left(x\right)\right]}^3+x^3\le 1008$

Phương trình đã cho có nghiệm $\iff \left(1\right)$  có nghiệm  

$\iff 9\le 2^m\le 1008\Rightarrow 2^4{2}^m\le 2^{10}$.

$\Rightarrow m\in \left\{4;5;6;7;8;9\right\}$