Cho hàm số  $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}-x^{2}khix<1\\ xkhix\ge 1\end{array}\right.$.

Tìm các giới hạn sau:  $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right);\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right);\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)$ (nếu có).

+) Với dãy số (x_n) bất kì, x_n ≤ 1 và x_n → 1. Khi đó f(x_n) =  $-x_n^2$ nên limf(x_n) =  $\lim \left(-x_n^2\right)=-1$.

Vì vậy  $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=-1$.

+) Với dãy số (x_n) bất kì, x_n > 1 và x_n → 1. Khi đó f(x_n) = x_n nên limf(x_n) = lim(x_n) = 1.

Vì vậy  $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=1$.

+) Vì  $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)\ne \underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)$ nên không tồn tại  $\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)$.