Cho hàm số f(x) = $2{\sin }^2\left(3x-\frac{\pi }{4}\right)$ . Chứng minh rằng |f'(x)| ≤ 6 với mọi x.

Ta có: $f^{\text{'}}\left(x\right)=4\sin \left(3x-\frac{\pi }{4}\right).{\left[\sin \left(3x-\frac{\pi }{4}\right)\right]}^{\text{'}}$

$=\mathrm{4.3.}\cos \left(3x-\frac{\pi }{4}\right).\sin \left(3x-\frac{\pi }{4}\right)$

$=12\cos \left(3x-\frac{\pi }{4}\right).\sin \left(3x-\frac{\pi }{4}\right)=6\sin \left(6x-\frac{\pi }{2}\right)$

Vì:

$-1\le \sin \left(6x-\frac{\pi }{2}\right)\le 1\iff -6\le 6\sin \left(6x-\frac{\pi }{2}\right)\le 6$

⇔ –6 ≤ f'(x) ≤ 6 với mọi x.

Vậy |f'(x)| ≤ 6 với mọi x.