Lời giải
a) Với a = 0, b = 1, hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}2x\,\,\,\,\,\,khi\,\,x < 2\\4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 2\\ - 3x + 1\,\,\,khi\,x > 2\end{array} \right.\)
Với x < 2 thì f(x) = 2x là hàm liên tục.
Với x > 2 thì f(x) = – 3x + 1 là hàm liên tục.
Tại x = 2 ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} 2x = 4\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( { - 3x + 1} \right) = - 5\).
Suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right)\). Do đó không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right)\).
Vậy hàm số tiên tục trên ( – ∞; 2) và (2; +∞).
b) Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {2x + a} \right) = 4 + a\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( { - 3x + b} \right) = - 6 + b\)
Để hàm số liên tục tại x = 2 thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4 + a = 4\\ - 6 + b = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = 10\end{array} \right.\) .
Vậy với a = 0 và b = 10 thì hàm số liên tục tại x = 2.
c) Tập xác định của hàm số là: ℝ.
Để hàm số liên tục trên ℝ thì hàm số liên tục tại x = 2. Vì vậy với a = 0 và b = 10 thỏa mãn điều kiện.
