Cho hai số thực dương $x,y$   thỏa mãn  $4xy=1.$

          Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức   $A=\frac{2{\left(x-y\right)}^2+16xy}{x+y}$

Ta có:

$A=\frac{2{\left(x-y\right)}^2+16xy}{x+y}=\frac{2\left(x^2-2xy+y^2\right)+16xy}{x+y}$

$=\frac{2x^2-4xy+2y^2+16xy}{x+y}=\frac{2x^2+2y^2+12xy}{x+y}$

$\begin{array}{l}=\frac{2x^2+2y^2+3.4xy}{x+y}=\frac{2x^2+2y^2+3}{x+y}(do4xy=1)\\ =\frac{2\left[{\left(x+y\right)}^2-2xy\right]+3}{x+y}=\frac{2{\left(x+y\right)}^2-4xy+3}{x+y}\\ =\frac{2{\left(x+y\right)}^2-1+3}{x+y}=\frac{2{\left(x+y\right)}^2+2}{x+y}=\frac{2\left[{\left(x+y\right)}^2+1\right]}{x+y}=2\left[\left(x+y\right)+\frac{1}{x+y}\right]\\ \ge 2\sqrt{\left(x+y\right).\frac{1}{x+y}}=2(Co-si)\Rightarrow A=2\left[\left(x+y\right)+\frac{1}{x+y}\right]\ge 4\end{array}$

Vậy $MinA=4\iff x=y=\frac{1}{2}$