Cho $f\left(x\right)=x^3+x-2^m$ .Tổng các giá trị nguyên của tham số m để phương trình  $f\left(f\left(x\right)\right)=x$có nghiệm trên đoạn $\left[1;4\right]$  là

Đặt $t=f\left(x\right)\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}t=f\left(x\right)\\ f\left(t\right)=x\end{array}\right.\Rightarrow f\left(t\right)+t=f\left(x\right)+x$ . (1)

Xét hàm số  $g\left(u\right)=f\left(u\right)+u=u^3+2u-2^m$có $g^{\text{'}}\left(u\right)=3u^2+2>0$  ,$\forall u\in ℝ$ .

Do đó $\left(1\right)\iff t=x\iff f\left(x\right)=x\iff x^3=2^m$  . (2)

Phương trình $f\left(f\left(x\right)\right)=x$ có nghiệm trên đoạn $\left[1;4\right]\iff \left(2\right)$  có nghiệm trên đoạn  $\left[1;4\right]\iff 1^3\le 2^m\le 4^3\Rightarrow m\in \left\{0;1;2;3;4;5;6\right\}$

Tổng các giá trị là $\left(1+2+3+4+5+6\right)=21$ .

Chọn C.