c) un = ( -1 ) ^ n-1 / n^2 + 1

c) $u_n=\frac{{\left(-1\right)}^{n-1}}{n^2+1}$

Trả lời

c) Ta có $u_{n+1}-u_n=\frac{{\left(-1\right)}^{n+1-1}}{{\left(n+1\right)}^2+1}-\frac{{\left(-1\right)}^{n-1}}{n^2+1}=\frac{{\left(-1\right)}^n}{{\left(n+1\right)}^2+1}+\frac{{\left(-1\right)}^n}{n^2+1}$

$={\left(-1\right)}^n\left(\frac{1}{{\left(n+1\right)}^2+1}+\frac{1}{n^2+1}\right)$

Vì $\frac{1}{{\left(n+1\right)}^2+1}+\frac{1}{n^2+1}>0\forall n\ge 1$ nên hiệu u_{n + 1} – u_n dương hay âm phụ thuộc vào n, cụ thể là dương khi n chẵn và âm khi n lẻ.

Do đó, dãy số (u_n) không tăng cũng không giảm.