Biết rằng I= ;anda pi/2 -4 sĩn + 7 cos x/ 2 sin x + 3 cos x dx= alpha + 2ln b/c với a > 0;b,c thuộc N ; b/c tối giản. Hãy tính giá trị

Biết rằng $I={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{-4\sin x+7\cos x}{2\sin x+3\cos x}dx=a+2\ln \frac{b}{c}$ với $a>0;b,c\in {\mathbb{N}}^{*};\frac{b}{c}$ tối giản. Hãy tính giá trị biểu thức $P=a-b+c.$

Trả lời

Xét đồng nhất thức

$-4\sin x+7\cos x=A(2\sin x+3\cos x)+B(2\cos x-3\sin x)$

Do đó $\left\{\begin{array}{l}2A-3B=-4\\ 3A+2B=7\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}A=1\\ B=2\end{array}\right.\right.$

Ta có$I={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{-4\sin x+7\cos x}{2\sin x+3\cos x}dx={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\left(1+\frac{2{(2\sin x+3\cos x)}^{\text{'}}}{2\sin x+3\cos x}\right)dx$

$={\left.(x+2\ln |2\sin x+3\cos x\left|\right)\right|}_0^{\frac{\pi }{2}}=\frac{\pi }{2}+2\ln \frac{2}{3}\Rightarrow a=\frac{\pi }{2},b=2,c=3.$

Vậy $P=a-b+c=\frac{\pi }{2}-2+3=\frac{\pi }{2}+1$

Chọn B