Biết phương trình $\frac{\sqrt{x+1}-2}{\sqrt[3]{2x+1}-3}=\frac{1}{x+2}$ , có một nghiệm thực $x=\frac{a+\sqrt{b}}{2}$ , với  $a,b,c\in \mathbb{N}$và c là số nguyên tố. Khẳng định đúng là

Điều kiện $\left\{\begin{array}{l}x\ne 13\\ x\ge -1\end{array}\right.$  

Phương trình đã cho  $\iff \left(x+2\right)\sqrt{x+1}-2\left(x+2\right)=\sqrt[3]{2x+1}-3$

$\iff {\left(\sqrt{x+1}\right)}^3+\sqrt{x+1}={\left(\sqrt[3]{2x+1}\right)}^3+\sqrt[3]{2x+1}\iff f\left(\sqrt{x+1}\right)=f\left(\sqrt[3]{2x+1}\right)$ (1)

với  $f\left(t\right)=t^3+t$

Xét hàm số $f\left(t\right)=t^3+t$ , có $f^{\text{'}}\left(t\right)=3t^2+1$ ,  $\forall t\in ℝ\Rightarrow$  Hàm số đồng biến trên R.

Do đó  $\left(1\right)\iff \sqrt{x+1}=\sqrt[3]{2x+1}\iff \left\{\begin{array}{l}2x+1\ge 0\\ {\left(\sqrt{x+1}\right)}^6={\left(\sqrt[3]{2x+1}\right)}^6\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x\ge \frac{-1}{2}\\ x^3-x^2-x=0\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\end{array}\right.\iff x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\Rightarrow a=1,b=5,c=2\Rightarrow 2ac=b-1$.

Chọn C.