Biết phương trình $8x^3-12x^2+10x-3=\left(10x+1\right)\sqrt{10x-1}$  có một nghiệm thực dương $x=\frac{a+\sqrt{b}}{c}$  với $a,b,c\in \mathbb{N}$  và $a,c$  là các số nguyên tố cùng nhau.

Khẳng định đúng là

Nhận xét:

- Vế trái là đa thức bậc ba, vế phải chứa căn bậc hai nên ta biến đổi để xuất hiện ${\left(\sqrt{10x-1}\right)}^3$ . Ta có

$\left(10x+1\right)\sqrt{10x-1}=\left[\left(10x-1\right)+2\right]\sqrt{10x-1}={\left(\sqrt{10x-1}\right)}^3+2\sqrt{10x-1}$

Khi đó phương trình có dạng   ${\left(ax+b\right)}^3+2\left(ax+b\right)={\left(\sqrt{10x-1}\right)}^3+2\sqrt{10x-1}$

Điều kiện  $x\ge \frac{1}{10}$ 

Phương trình đã cho $\iff {\left(2x-1\right)}^3+2\left(2x-1\right)={\left(\sqrt{10x-1}\right)}^3+2\sqrt{10x-1}$  (1).

Xét hàm số $f\left(t\right)=t^3+2t\Rightarrow f^{\text{'}}\left(t\right)=3t^2+2>0$ ,  

$\Rightarrow$ Hàm số đồng biến trên R.

Phương trình

 $\left(1\right)\iff f\left(2x-1\right)=f\left(\sqrt{10x-1}\right)\iff 2x-1=\sqrt{10x-1}\iff \left\{\begin{array}{l}2x-1\ge 0\\ {\left(2x-1\right)}^2=10x-1\end{array}\right.$

 $\iff \left\{\begin{array}{l}x\ge \frac{1}{2}\\ 2x^2-7x+1=0\end{array}\right.\iff x=\frac{7+\sqrt{41}}{4}$

$\Rightarrow a=7,b=41,c=4\Rightarrow 4\left(a+c\right)=b+3$.

Chọn D.