b) Tính tang của góc giữa hai đường thẳng SN và BC.

b) Xét tam giác ABC có O là trung điểm AC, N là trung điểm AB nên ON là đường trung bình, suy ra ON // BC.

Vì ON // BC nên (SN, BC) = (SN, ON) = $\widehat{SNO}$.

Vì tam giác SAC có SA = SC = a nên tam giác SAC cân tại S mà SO là trung tuyến nên SO là đường cao.

Vì BD² = 2a² và  ABCD là hình vuông nên $AC=BD=a\sqrt{2}\Rightarrow AO=OC=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Xét tam giác SOC vuông tại O, có:

SC² = SO² + OC² $\iff a^2=S{O}^2+{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2\iff SO=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Vì ON là đường trung bình của tam giác ABC nên $ON=\frac{BC}{2}=\frac{a}{2}$.

Xét tam giác đều SAB có SN là trung tuyến đồng thời là đường cao hay SN ^ AB.

Xét tam giác vuông SNB vuông tại N, ta có:

SN² + NB² = SB² $\iff S{N}^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2=a^2\iff S{N}^2=\frac{3a^2}{4}$

Lại có $S{O}^2+O{N}^2={\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2=\frac{3a^2}{4}$. Do đó tam giác SON vuông tại O.

Xét tam giác vuông SON vuông tại O có $\tan \widehat{SNO}=\frac{SO}{ON}=\sqrt{2}$.

Vậy tang của góc giữa hai đường thẳng SN và BC là $\sqrt{2}$.