60 Bài tập về phương trình mặt phẳng (có đáp án năm 2024) - Toán 12

Phương trình mặt phẳng

Kiến thức cần nhớ

I. Vecto pháp tuyến của mặt phẳng

1.  Định nghĩa:

Cho mặt phẳng (α). Nếu vecto $\overrightarrow{n}\ne \overrightarrow{0}$ và có giá vuông góc với mặt phẳng (α) thì $\overrightarrow{n}$ được gọi là vecto pháp tuyến của (α)

2. Chú ý. Nếu $\overrightarrow{n}$ là vecto pháp tuyến của một mặt phẳng thì $k\overrightarrow{n}(k\ne 0)$ cũng là vecto pháp tuyến của  mặt phẳng đó. 

3. Tích có hướng của hai vectơ

- Định nghĩa: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\overrightarrow{a}=(a_1;a_2;a_3)$, $\overrightarrow{b}=(b_1;b_2;b_3)$. Tích có hướng của hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ kí hiệu là $\left[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right]$, được xác định bởi

- Chú ý: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ là một số.

Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(2; 1;1); B(-1; 2; 0) và C(0; 1; -2).

Hãy tìm tọa độ của một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (ABC).

Lời giải:

Ta có: $\overrightarrow{AB}(-3;1;-1);$$\overrightarrow{AC}(-2;0;-3)$

Một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là :

$\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right]$$\hspace{0.17em}=(-3;-7;2)$

II. Phương trình tổng quát của mặt phẳng

1. Định nghĩa.

- Phương trình có dạng Ax + By + Cz + D = 0 trong đó A; B; C không đồng thời bằng 0 , được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng.

- Nhận xét.

a) Nếu mặt phẳng (α) có phương trình Ax + By + Cz + D = 0 thì nó có một vecto pháp tuyến là $\overrightarrow{n}(A;B;C)$.

b) Phương trình mặt phẳng đi qua điểm M (x₀; y₀; z₀) và nhận vectơ $\overrightarrow{n}(A;B;C)$ khác  là vecto pháp tuyến là: A(x- x₀ ) + B( y – y₀) + C(z – z₀) = 0.

Ví dụ 1. Mặt phẳng 2x – y + 3z – 10 = 0 có một vecto pháp tuyến là (2; -1; 3).

Ví dụ 2. Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng (ABC) với A(0; 1; -2); B(2; 1; 0); C ( -2; 1; 1)

Lời giải:

Ta có: $\overrightarrow{AB}(2;0;2);$$\overrightarrow{BC}(-4;0;1)$

Một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là:

$\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{AB};BC\right]$$\hspace{0.17em}=(0;-10;0)$

Phương trình tổng quát của mặt phẳng (ABC) là:

0(x – 0) – 10(y – 1) + 0(z + 2) = 0 hay  y – 1 = 0.

2. Các trường hợp riêng

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α) :  Ax + By + Cz + D =  0.

a) Nếu D = 0 thì mặt phẳng (α) đi qua gốc tọa độ O.

b)

- Nếu $A=0,B\ne 0,C\ne 0$ thì mặt phẳng (α) song song hoặc chứa trục Ox.

- Nếu $A\ne 0,B=0,C\ne 0$ thì mặt phẳng (α) song song hoặc chứa trục Oy.

- Nếu $A\ne 0,B\ne 0,C=0$ thì mặt phẳng (α) song song hoặc chứa trục Oz.

c)

- Nếu  A = B = 0; $C\ne 0$ thì mặt phẳng (α) song song hoặc trùng với (Oxy).

- Nếu A = C = 0; $B\ne 0$ thì mặt phẳng (α) song song hoặc trùng với (Oxz).

- Nếu B = C = 0; $A\ne 0$ thì mặt phẳng (α) song song hoặc trùng với (Oyz).

- Nhận xét:

Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn $\left(\alpha \right):\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$. Ở đây (α) cắt các trục tọa độ tại các điểm (a; 0; 0); (0; b; 0); (0; 0; c) với $abc\ne 0$

Ví dụ 3. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm M(2; 0; 0); N(0; 3; 0); P(0; 0; 1). Phương trình đoạn chắn của mp(MNP) là: $\frac{x}{2}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{y}{3}+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{z}{1}=1$

III. Điều kiện để hai mặt phẳng song song, vuông góc

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (α) và (β) có phương trình:

(α): A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0

(β): A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0

Hai mặt phẳng (α); (β) có hai vecto pháp tuyến lần lượt là: $\overrightarrow{n_1}(A{}_1;B_1;C_1);$$\overrightarrow{n_2}(A{}_2;B_2;C_2)\hspace{0.17em}$

1. Điều kiện để hai mặt phẳng song song.

- Chú ý:  Để (α) cắt (β)$\iff \overrightarrow{n_1}\ne k.\overrightarrow{n_2}$$\iff (A_1;B_1;C_1)$$\ne k(A_2;B_2;\text{}{C}_2)$

Ví dụ 4. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua A(2; 1; 2) và song song với mặt phẳng (P): x – y + 2z – 1 = 0.

Lời giải:

Vì mp(α) song song với mặt phẳng (P): x – y + 2z – 1 = 0 nên $\overrightarrow{n_{\alpha }}=(1;-1;2)$

Mặt phẳng (α) đi qua A(2;1; 2) nên có phương trình:

1( x – 2) – 1(y – 1) + 2( z – 2) = 0 hay x – y + 2z – 5 = 0.

2. Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc.

$\begin{array}{l}\left(\alpha \right)\perp \left(\beta \right)\iff \overrightarrow{n_1}\perp \overrightarrow{n_2}\\ \iff A_1{A}_2+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}{B}_1{B}_2+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}{C}_1{C}_2=0\end{array}$

Ví dụ 5. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A(1; 0; 1); B( 2; 1; -1) và vuông góc với mặt phẳng (Q): x – y + 2z – 1 = 0

Lời giải:

Ta có vecto pháp tuyến của mặt phẳng (Q) là: $\overrightarrow{n_Q}=(1;-1;2)$

Và $\overrightarrow{AB}(1;1;-2)$

Vì $\overrightarrow{n_P}\perp \overrightarrow{n_Q};\overrightarrow{n_P}\perp \overrightarrow{AB}$ nên $\overrightarrow{n_P}=\left[\overrightarrow{n_Q};\overrightarrow{AB}\right]=(0;4;2)$

Phương trình mặt phẳng (P) là:

0(x – 1) + 4(y – 0) + 2(z – 1) = 0 hay 4y – 2z – 2 = 0

IV. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

- Định lí: Trong không gian Oxyz, cho điểm M₀(x₀; y₀; z₀) và mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0 .

Khi đó khoảng cách từ điểm M₀ đến mặt phẳng (α) được tính:

$d(M_0,(\alpha \left)\right)=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

Ví dụ 6. Tính khoảng cách từ điểm M(2; 3; 0) và N( 1; 1; 1) đến mặt phẳng (P): 2x – y + 2z + 1 = 0.

Lời giải:

Theo công thức tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng ta có:

Ví dụ 7. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song được cho bởi phương trình: (P): x – 2y +2z + 3 = 0 và (Q): x – 2y + 2z – 7= 0.

Lời giải:

Ta biết khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

Lấy điểm A(-3; 0; 0) thuộc mặt phẳng (P).

Ta có: $d\left(\right(P);$$\left(Q\right))=d(A;\left(Q\right))$$=\frac{\left|-3-2.0+\text{}2.0-7\right|}{\sqrt{1^2+\text{}{(-2)}^2+2^2}}$$=\frac{10}{3}$

Các dạng bài tập về phương trình mặt phẳng

(Xem chi tiết trong file đính kèm bên dưới)

Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng.

Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến mặt cầu.

Dạng 3: Phương trình mặt phẳng đoạn chắn.

Dạng 4: Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng.

Dạng 5: Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng.

Dạng 6: Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng.

Dạng 7: Góc giữa hai mặt phẳng.

Dạng 8: Một số bài toán cực trị.

Bài tập (có hướng dẫn giải)

1. Bài tập vận dụng

Câu 1: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình (m² - 2m)x + y + (m - 1)z + m² + m = 0, trong đó m là tham số. Với những giá trị nào của m thì mặt phẳng (P) song song với trục Ox ?

Lời giải:

Ta có n$\overrightarrow{P}$ = (m² - 2m; 1; m - 1). Mặt phẳng (P) song song với trục Ox khi và chỉ khi

Từ đó ta được m=2.

Vậy đáp án B là đáp án đúng.

Lưu ý. Học sinh thường chỉ để ý đến điều kiện (1) và quên mất điều kiện (2), từ đó sẽ chọn đáp án (C)

Câu 2: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P) : x + 2y - 2z + 1 = 0, (Q): 2x + 4y + az + b = 0. Tìm a và b sao cho khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó bằng 1.

Lời giải:

Câu 3: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình là x² + y² + z² - 2x - 4y + 6z + 5 = 0 và cho mặt phẳng (P) : x - 2y + 3z + 3 = 0. Khẳng định nào dưới đây là đúng ?

- (P) giao (S) theo một đường tròn

- (P) tiếp xúc với (S)

- (P) không cắt (S)

- Mặt phẳng (P) đi qua tâm của mặt cầu (S)

Lời giải:

Mặt cầu (S) có tâm I(1;2;-3) và có bán kính

Câu 4: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm thay đổi A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) trong đó a, b, c khác 0 và thỏa mãn điều kiện 3ab + bc - 2ac = abc . Khoảng cách lớn nhất từ O đến mặt phẳng (ABC) là?

Lời giải:

Câu 5: Trong không gian Oxyz, phương trình của mặt phẳng (P) đi qua điểm M(x₀, y₀, z₀) và có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{nP}$ = (A; B; C) là?

Lời giải:

Câu 6: Trong không gian Oxyz, phương trình của mặt phẳng (P) đi qua điểm M(-x0, y0, -z0) và có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{nP}$ = (-A; B; -C) là?

Lời giải:

2. Bài tập tự luyện

(Xem trong file đính kèm)