60 Bài tập về Định lí Ta-let trong tam giác (có đáp án năm 2023) - Toán 8

Bài giảng Toán 8 Bài 1: Định lí Ta- let trong tam giác

Kiến thức cần nhớ

1. Tỉ số của hai đường thẳng

- Định nghĩa

Tỉ số của hai đoạn thẳng là tỉ số độ dài của chúng theo cùng một đơn vị đo.

Tỉ số của hai đoạn thẳng AB và CD được kí hiệu là $\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{CD}}$.

- Chú ý: Tỉ số của hai đoạn thẳng không phụ thuộc vào cách chọn đơn vị đo

Ví dụ 1.

- Cho AB = 10 cm; CD = 30 cm thì $\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{CD}}=\frac{10}{30}=\frac{1}{3}$

- Cho AB = 1 dm; CD = 3 dm thì $\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{CD}}=\frac{1}{3}$

2. Đoạn thẳng tỉ lệ

- Định nghĩa:

Hai đoạn thẳng AB và CD gọi là tỉ lệ với hai đoạn thẳng A’B’ và C’D’ nếu có tỉ lệ thức $\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{CD}}=\frac{\mathrm{A}\text{'}\mathrm{B}\text{'}}{\mathrm{C}\text{'}\mathrm{D}\text{'}}$ hay $\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{A}\text{'}\mathrm{B}\text{'}}=\frac{\mathrm{CD}}{\mathrm{C}\text{'}\mathrm{D}\text{'}}$.

3. Định lý Ta – lét trong tam giác

- Định lý Ta – lét:

Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lai thì nó định ra trên hai cạnh ấy những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

Tổng quát: $△\mathrm{ABC}, \mathrm{B}\text{'}\mathrm{C}\text{'}\parallel \mathrm{BC}; \mathrm{B}\text{'}\in \mathrm{AB}, \mathrm{C}\text{'}\in \mathrm{AC}$

Ta có: $\frac{\mathrm{AB}\text{'}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{AC}\text{'}}{\mathrm{AC}}; \frac{\mathrm{AB}\text{'}}{\mathrm{BB}\text{'}}=\frac{\mathrm{AC}\text{'}}{\mathrm{C}\text{'}\mathrm{C}}; \frac{\mathrm{BB}\text{'}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{CC}\text{'}}{\mathrm{AC}}$

Ví dụ 2. Tính độ dài cạnh AN trong hình vẽ sau, biết MN// BC

Lời giải:

Ta có MN// BC, áp dụng định lý Ta – lét ta có:

$\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{MB}}=\frac{\mathrm{AN}}{\mathrm{NC}}$ hay $\frac{17}{10}=\frac{\mathrm{x}}{9}$

$\Rightarrow \mathrm{x}=\frac{17.9}{10}=15,3$

Vậy AN = 15,3.

Các dạng bài tập về định lí Ta - Let trong tam giác

Dạng 1. Tính tỉ số hai đoạn thẳng. Chia đoạn thẳng theo tỉ số cho trước.

1. Sử dụng định nghĩa tỉ số của hai đoạn thẳng.

2. Một điểm C thuộc đoạn thẳng AB (hoặc đường thẳng AB), được gọi là chia đoạn thẳng AB theo tỉ số $\frac{m}{n}$ khác 1 (m, n là các số dương), nếu ta có: CA/CB =m/n.

3. Sử dụng kĩ thuật đại số hóa hình học.

4. Lập tỉ lệ thức giữa các đoạn thẳng tỉ lệ rồi áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.

Dạng 2.Tính độ dài đoạn thẳng, dựng đoạn thẳng tỉ lệ thứ tư.

1. Tính độ dài đoạn thẳng:

+ Áp dụng định lí Ta-lét để lập hệ thức của các đoạn thẳng tỉ lệ.

+ Xác định đường thẳng song song với một cạnh của tam giác.

+ Thay số vào hệ thức rồi giải phương trình.

2. Trong bốn đoạn thẳng tỉ lệ, dựng đoạn thẳng thứ tự khi biết độ dài của ba đoạn kia:

+ Đặt ba đoạn thẳng trên hai cạnh của một góc.

+ Dựng đường thẳng song song để xác định đoạn thẳng thứ tư.

Dạng 3. Chứng minh các hệ thức hình học.

1. Xác định đường thẳng song song với một cạnh của tam giác.

2. Áp dụng định lí Ta-lét để lập hệ thức của các đoạn thẳng tỉ lệ.

3. Sử dụng các tính chất của tỉ lệ thức hoặc cộng theo vế các đẳng thức hình học.

Dạng 4. Vẽ thêm đường thẳng song song để tính tỉ số hai đoạn thẳng.

1. Vẽ thêm đường thẳng song song.

2. Sử dụng kĩ thuật đại số hóa hình học.

3. Áp dụng định lí Ta-lét.

Bài tập tự luyện

1. Bài tập vận dụng

Bài 1. Viết tỉ số của các cặp đoạn thẳng có độ dài như sau:

a) AB = 6 cm; CD = 10 cm.

b) AB = 2dm; MN = 4cm.

c) MN = 12 cm; PQ = 2dm

Lời giải:

Tỉ số của các cặp đoạn thẳng đã cho là:

a) $\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{CD}}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$

b) Đổi AB = 2 dm = 20 cm

$\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{MN}}=\frac{20}{4}=5$

c) Đổi PQ = 2dm = 20 cm

$\frac{\mathrm{MN}}{\mathrm{PQ}}=\frac{12}{20}=0,6$

Bài 2. Tìm độ dài x cho hình vẽ sau biết MN// BC

Lời giải:

Ta có: AB = AM + MB = 2 + 3 = 5

Vì MN// BC. Áp dụng định lí Ta – lét ta có:

$$\begin{gathered} \frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{AN}}{\mathrm{AC}}\iff \frac{2}{5}=\frac{1,5}{\mathrm{x}} \\ \Rightarrow \mathrm{x}=\frac{5.1,5}{2}=3,75 \end{gathered}$$

Vậy x = 3,75.

Bài 3. Cho các đoạn thẳng AB = 4 cm; CD = 8cm; MN = 20cm; PQ = x cm. Tìm x để  AB và CD tỉ lệ với MN và PQ?

Lời giải:

Để AB và CD tỉ lệ với MN và PQ thì:

$$\begin{gathered} \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{CD}}=\frac{\mathrm{MN}}{\mathrm{PQ}}\iff \frac{4}{8}=\frac{20}{\mathrm{x}} \\ \iff \mathrm{x}=\frac{8.20}{4}=40\mathrm{cm} \end{gathered}$$

Vậy x = 40cm.

Bài 4. Cho đoạn thẳng AB = 35cm. Trên đoạn thẳng AB lấy điểm C sao cho $\frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{CB}}=\frac{3}{2}$. Tính độ dài đoạn CB.

Lời giải:

Từ giả thiết

$\frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{CB}}=\frac{3}{2}\Rightarrow \frac{\mathrm{CA}}{3}=\frac{\mathrm{CB}}{2}$

Đặt $\frac{\mathrm{CA}}{3}=\frac{\mathrm{CB}}{2}=\mathrm{t} \left(\mathrm{t}>0\right)$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\mathrm{CA}=3\mathrm{t}\\ \mathrm{CB}=2\mathrm{t}\end{array}\right.$

Ta có: AB = AC + CB

Thay số: 35 = 3t + 2t

Do đó, 35 = 5t nên t = 7.

Khi đó; CB = 2t = 2.7 = 14 cm

Vậy CB = 14cm.

2. Bài tập tự luyện theo các dạng toán có hướng dẫn