50 bài tập về phương trình (có đáp án 2023) – Toán 8

Với cách giải Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của phân thức môn Toán lớp 8 Đại số gồm phương pháp giải chi tiết, bài tập minh họa có lời giải và bài tập tự luyện sẽ giúp học sinh biết cách làm bài tập Mở đầu về phương trình. Mời các bạn đón xem:

Mở đầu về phương trình và cách giải bài tập - Toán lớp 8

I. Lý thuyết

1. Khái niệm về phương trình một ẩn

- Phương trình một ẩn x là phương trình có dạng: A(x) = B(x), trong đó A(x) và B(x) là các biểu thức của biến x.

2. Các khái niệm liên quan

- Giá trị x0 được gọi là nghiệm của phương trình A(x) = B(x) nếu đẳng thức A(x0)=B(x0) đúng.

- Giải phương trình là tìm tất cả các nghiệm của phương trình đó.

- Tập nghiệm của phương trình là tập chứa tất cả các giá trị nghiệm của phương trình.

- Hai phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.

Chú ý: Ta quy định hai phương trình vô nghiệm là tương đương nhau.

II. Dạng bài tập

Dạng 1: Xét xem một số cho trước có phải là nghiệm của phương trình hay không

Phương pháp giải: Để xem số thực x0 có là nghiệm của phương trình A(x) = B(x) hay không, ta thay x0 vào phương trình để kiểm tra.

- Nếu A(x0)=B(x0) đúng, ta nói x0 là nghiệm của phương trình đã cho.

- Nếu A(x0)=B(x0) không đúng, ta nói x0 không là nghiệm của phương trình đã cho.

Ví dụ 1: Hãy xét xem số 1 có phải là nghiệm của mỗi phương trình sau đây không?

a) x – 2 = 1 – 2x

b) x – 1 = 5(x + 1) + 2x + 1.

Lời giải:

a) Thay x = 1 vào phương trình ta được:

1 – 2 = 1 – 2.1

-1 = -1 (đúng)

Vậy x = 1 là nghiệm của phương trình x – 2 = 1 – 2x.

b) Thay x = 1 vào phương trình ta được:

1 – 1 = 5.(1 + 1) + 2.1 + 1

0 = 5.2 + 2 + 1

0 = 13 (vô lí)

Vậy x = 1 không là nghiệm của phương trình.

Ví dụ 2: Cho phương trình 2x + m = x – 3. Tìm giá trị của tham số m để phương trình có nghiệm x = 4.

Lời giải:

Thay x = 4 vào phương trình ta có:

2.4 + m = 4 – 3

8 + m = 1

m = 1 – 8

m = -7

Vậy m = -7 thì phương trình 2x + m = x – 3 nhận x = 4 là nghiệm.

Ví dụ 3: Cho phương trình x + m = 2x + 3. Tìm giá trị của tham số m để phương trình có nghiệm x = 3.

Lời giải:

Thay x = 3 vào phương trình ta có:

3 + m = 2.3 + 3

3 + m = 6 + 3

3 + m = 9

m = 9 – 3

m = 6

Vậy m = 6 thì phương trình x + m = 2x + 3 nhận x = 3 là nghiệm.

Dạng 2: Xác định số nghiệm của một phương trình

Phương pháp giải: Số nghiệm của phương trình phụ thuộc vào số giá trị của x thỏa mãn phương trình:

- Phương trình A(x) = B(x) vô nghiệm A(x) B(x) với mọi x.

- Phương trình A(x) = B(x) có nghiệm x = x0A(x0) = B(x0).

- Phương trình A(x) = B(x) có vô số nghiệm A(x) = B(x) với mọi x.

Số nghiệm của phương trình không vượt quá số bậc cao nhất của đa thức tạo nên phương trình.

Ví dụ 1: Chứng minh rằng phương trình x+22+5=0 vô nghiệm

Lời giải:

Ta có: x+220 nên x+22+50+5

x+22+55

Ta thấy x+22+5 luôn khác 0 với mọi x

Vậy phương trình x+22+5 = 0 vô nghiệm.

Ví dụ 2: Chứng minh phương trình x2x+9=xx+34x+9 có vô số nghiệm.

Lời giải:

Ta có: x(x + 3) – 4x + 9 = x2+ 3x – 4x + 9 = x2 - x + 9

Ta thấy: x2x+9=xx+34x+9 luôn đúng với mọi x nên phương trình này có vô số nghiệm.

Ví dụ 3: Tìm tất cả các nghiệm của phương trình x1x25x+6=0.

Lời giải:

Ta có:

x1x25x+6=0

x1x23x2x+6=0

x1xx32x3=0

x1x3x2=0

x1=0x3=0x2=0x=1x=3x=2

Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm với tập nghiệm S=1;2;3

Dạng 3: Chứng minh hai phương trình tương đương

Phương pháp giải: Để xét sự tương đương của hai phương trình ta thực hiện các bước sau đây:

Bước 1: Tìm các tập nghiệm S1;S2 lần lượt của hai phương trình đã cho.

Bước 2:

Nếu S1=S2thì ta kết luận hai phương trình đã cho tương đương.

Nếu S1S2 thì ta kết luận hai phương trình đã cho không tương đương.

Ví dụ 1: Các cặp phương trình sau đây có tương đương không? Vì sao?

a) x – 2 = 0 và x = 2

b) x24=0và x – 2 = 0

Lời giải:

a) Xét phương trình x – 2 = 0. Nhận thấy x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình

S1=2 là tập nghiệm của phương trình

Xét phương trình x = 2. Nhận thấy x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình

S2=2 là tập nghiệm của phương trìnhh

 S1=S2 nên hai phương trình đã cho tương đương.

b) Xét phương trình:

x24=0

x4x+4=0

x4=0x+4=0

x=4x=4

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S1=4;4.

Xét phương trình x – 2 = 0. Nhận thấy x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S2=2.

 S1S2 nên hai phương trình đã cho không tương đương.

Ví dụ 2:  Cho hai phương trình:

2x25x+3=0  (1)

323x1x+2=2x   (2)

a) Chứng minh x=32 là nghiệm của phương trình (1) và (2)?

b) Chứng minh x = - 5 là nghiệm của phương trình (2) nhưng không phải nghiệm của phương trình (1)?

c) Hai phương trình trên có tương đương không? Vì sao?

Lời giải:

a) Thay x=32 vào phương trình (1) ta có:

2.3225.32+3=02.94152+3=0

92152+3=0 3+3=0

0=0 (đúng)

Vậy x=32 là nghiệm của phương trình (1).

Thay x=32vào phương trình (2) ta có:

323.32132+2=2.32

31132+2=3

30.32+2=3

3=3 (đúng)

Vậy x=32 là nghiệm của phương trình (2).

Do đó x=32 là nghiệm chung của hai phương trình.

b) Thay x = - 5 vào phương trình (2) ta có:

323.515+2=2.5

310313=10

31333=10

313=10

10=10(đúng)

Vậy x = -5 là nghiệm của phương trình (2).

Thay x = -5 vào phương trình (1) ta có:

2.525.5+3=0

2.25+25+3=0

50+25+3=0

78=0(vô lí)

Do đó x = -5 không phải nghiệm của phương trình (1).

c) Vì x = -5 là nghiệm của phương trình (2) nhưng không phải nghiệm của phương trình (1) nên tập nghiệm hai phương trình này không bằng nhau.

Do đó hai phương trình đã cho không tương đương.

Ví dụ 3: Tìm các giá trị của tham số m để hai phương trình x = 1 và 2mx = m + 1 tương đương.

Lời giải:

Vói phương trình x = 1 S1=1

Để hai phương trình đã cho tương đương thì S1 cũng là tập nghiệm của phương trình 2mx = m + 2

Thay x = 1 vào pương trình ta có:

2m.1 = m + 2

2m = m + 2

2m – m = 2

m = 2

Thay m = 2 vào lại phương trình ta có:

2.2x = 2 + 2

4x = 4

x = 1 (nghiệm duy nhất)

Do đó m = 2 thì hai phương trình đã cho tương đương.

III. Bài tập tự luyện

Bài 1: Hãy xét xem 3 có là nghiệm của mỗi phương trình sau đây không? Vì sao?

a) 2x + 1 = x + 2

b) 4(2x – 1) = x + 1 + 3(x – 1)

Bài 2: Các cặp phương trình sau đây có tương đương không? Vì sao?

a) x225=0 và x = 5

b) 2x – 4 = 2 và x – 3 = 0.

Bài 3: Tìm m để x = 5 là nghiệm của các phương trình sau:

a) 2m + 3(x + 1) = 5

b) 4mx24=0

Bài 4: Cho phương trình: x2+2x+5=0. Chứng minh phương trình đã cho vô nghiệm.

Bài 5: Cho phương trình x2x26x+8=0. Phương trình đã cho có mấy nghiệm? Vì sao?

Bài 6: Cho hai phương trình:

2x2+3x+5=0   (1)

25x1x1+5=2x   (2)

a) Chứng minh x = 52 là nghiệm của cả hai phương trình.

b) Chứng minh x = -1 là nghiệm của phương trình (1) nhưng không phải nghiệm của phương trình (2)

c) Hai phương trình đã cho có tương đương không? Vì sao?

Bài 7: Cho phương trình x + m = 2x + 1. Tìm giá trị của tham số m để phương trình có nghiệm x = 1.

Bài 8: Tìm các giá trị của tham số m để hai phương trình x = 1 và 2mx2m+2x+1=0tương đương.

Bài 9: Cho hai phương trình:

5x2+3x8=0  (1)

-x2+8x7=0   (2)

a) Chứng minh x = 1 là nghiệm chung của hai phương trình.

b) Chứng minh x=85 là nghiệm của phương trình (1) nhưng không phải nghiệm của phương trình (2).

c) Hai phương trình đã cho có tương đương không? Vì sao?

Bài 10: Cho các phương trình:

m+4x2+2m+9x4=0 và x = 1.

Tìm giá trị của tham số m để hai phương trình tương đương.

Bình luận (0)

Đăng nhập để có thể bình luận

Chưa có bình luận nào. Bạn hãy là người đầu tiên cho tôi biết ý kiến!