50 bài tập về phương trình (có đáp án 2023) – Toán 8

Mở đầu về phương trình và cách giải bài tập - Toán lớp 8

I. Lý thuyết

1. Khái niệm về phương trình một ẩn

- Phương trình một ẩn x là phương trình có dạng: A(x) = B(x), trong đó A(x) và B(x) là các biểu thức của biến x.

2. Các khái niệm liên quan

- Giá trị $x_0$ được gọi là nghiệm của phương trình A(x) = B(x) nếu đẳng thức $A\left(x_0\right)=B\left(x_0\right)$ đúng.

- Giải phương trình là tìm tất cả các nghiệm của phương trình đó.

- Tập nghiệm của phương trình là tập chứa tất cả các giá trị nghiệm của phương trình.

- Hai phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.

Chú ý: Ta quy định hai phương trình vô nghiệm là tương đương nhau.

II. Dạng bài tập

Dạng 1: Xét xem một số cho trước có phải là nghiệm của phương trình hay không

Phương pháp giải: Để xem số thực $x_0$ có là nghiệm của phương trình A(x) = B(x) hay không, ta thay $x_0$ vào phương trình để kiểm tra.

- Nếu $A\left(x_0\right)=B\left(x_0\right)$ đúng, ta nói $x_0$ là nghiệm của phương trình đã cho.

- Nếu $A\left(x_0\right)=B\left(x_0\right)$ không đúng, ta nói $x_0$ không là nghiệm của phương trình đã cho.

Ví dụ 1: Hãy xét xem số 1 có phải là nghiệm của mỗi phương trình sau đây không?

a) x – 2 = 1 – 2x

b) x – 1 = 5(x + 1) + 2x + 1.

Lời giải:

a) Thay x = 1 vào phương trình ta được:

1 – 2 = 1 – 2.1

$\Rightarrow$-1 = -1 (đúng)

Vậy x = 1 là nghiệm của phương trình x – 2 = 1 – 2x.

b) Thay x = 1 vào phương trình ta được:

1 – 1 = 5.(1 + 1) + 2.1 + 1

$\Rightarrow$0 = 5.2 + 2 + 1

$\Rightarrow$0 = 13 (vô lí)

Vậy x = 1 không là nghiệm của phương trình.

Ví dụ 2: Cho phương trình 2x + m = x – 3. Tìm giá trị của tham số m để phương trình có nghiệm x = 4.

Lời giải:

Thay x = 4 vào phương trình ta có:

2.4 + m = 4 – 3

$\iff$8 + m = 1

$\iff$m = 1 – 8

$\iff$m = -7

Vậy m = -7 thì phương trình 2x + m = x – 3 nhận x = 4 là nghiệm.

Ví dụ 3: Cho phương trình x + m = 2x + 3. Tìm giá trị của tham số m để phương trình có nghiệm x = 3.

Lời giải:

Thay x = 3 vào phương trình ta có:

3 + m = 2.3 + 3

$\iff$3 + m = 6 + 3

$\iff$3 + m = 9

$\iff$m = 9 – 3

$\iff$m = 6

Vậy m = 6 thì phương trình x + m = 2x + 3 nhận x = 3 là nghiệm.

Dạng 2: Xác định số nghiệm của một phương trình

Phương pháp giải: Số nghiệm của phương trình phụ thuộc vào số giá trị của x thỏa mãn phương trình:

- Phương trình A(x) = B(x) vô nghiệm $\iff$A(x) $\ne$B(x) với mọi x.

- Phương trình A(x) = B(x) có nghiệm x = $x_0$$\iff$A($x_0$) = B($x_0$).

- Phương trình A(x) = B(x) có vô số nghiệm $\iff$A(x) = B(x) với mọi x.

Số nghiệm của phương trình không vượt quá số bậc cao nhất của đa thức tạo nên phương trình.

Ví dụ 1: Chứng minh rằng phương trình ${\left(x+2\right)}^2+5=0$ vô nghiệm

Lời giải:

Ta có: ${\left(x+2\right)}^2\ge 0$ nên ${\left(x+2\right)}^2+5\ge 0+5$

$\Rightarrow {\left(x+2\right)}^2+5\ge 5$

Ta thấy ${\left(x+2\right)}^2+5$ luôn khác 0 với mọi x

Vậy phương trình ${\left(x+2\right)}^2+5$ = 0 vô nghiệm.

Ví dụ 2: Chứng minh phương trình $x^2-x+9=x\left(x+3\right)-4x+9$ có vô số nghiệm.

Lời giải:

Ta có: x(x + 3) – 4x + 9 = $x^2$+ 3x – 4x + 9 = $x^2$ - x + 9

Ta thấy: $x^2-x+9=x\left(x+3\right)-4x+9$ luôn đúng với mọi x nên phương trình này có vô số nghiệm.

Ví dụ 3: Tìm tất cả các nghiệm của phương trình $\left(x-1\right)\left(x^2-5x+6\right)=0$.

Lời giải:

Ta có:

$\left(x-1\right)\left(x^2-5x+6\right)=0$

$\iff \left(x-1\right)\left(x^2-3x-2x+6\right)=0$

$\iff \left(x-1\right)\left[x\left(x-3\right)-2\left(x-3\right)\right]=0$

$\iff \left(x-1\right)\left(x-3\right)\left(x-2\right)=0$

$\iff \left[\begin{array}{l}x-1=0\\ x-3=0\\ x-2=0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=1\\ x=3\\ x=2\end{array}\right.$

Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm với tập nghiệm $S=\left\{1;2;3\right\}$

Dạng 3: Chứng minh hai phương trình tương đương

Phương pháp giải: Để xét sự tương đương của hai phương trình ta thực hiện các bước sau đây:

Bước 1: Tìm các tập nghiệm $S_1;S_2$ lần lượt của hai phương trình đã cho.

Bước 2:

Nếu $S_1=S_2$thì ta kết luận hai phương trình đã cho tương đương.

Nếu $S_1\ne S_2$ thì ta kết luận hai phương trình đã cho không tương đương.

Ví dụ 1: Các cặp phương trình sau đây có tương đương không? Vì sao?

a) x – 2 = 0 và x = 2

b) $x^2-4=0$và x – 2 = 0

Lời giải:

a) Xét phương trình x – 2 = 0. Nhận thấy x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình

$\Rightarrow S_1=\left\{2\right\}$ là tập nghiệm của phương trình

Xét phương trình x = 2. Nhận thấy x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình

$\Rightarrow S_2=\left\{2\right\}$ là tập nghiệm của phương trìnhh

Vì $S_1=S_2$ nên hai phương trình đã cho tương đương.

b) Xét phương trình:

$x^2-4=0$

$\iff \left(x-4\right)\left(x+4\right)=0$

$\iff \left[\begin{array}{l}x-4=0\\ x+4=0\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=4\\ x=-4\end{array}\right.$

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là $S_1=\left\{-4;4\right\}$.

Xét phương trình x – 2 = 0. Nhận thấy x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là $S_2=\left\{2\right\}$.

Vì $S_1\ne S_2$ nên hai phương trình đã cho không tương đương.

Ví dụ 2:  Cho hai phương trình:

$2x^2-5x+3=0\text{ (1)}$

$3-\left(\frac{2}{3}x-1\right)\left(x+2\right)=2x\text{ (2)}$

a) Chứng minh $x=\frac{3}{2}$ là nghiệm của phương trình (1) và (2)?

b) Chứng minh x = - 5 là nghiệm của phương trình (2) nhưng không phải nghiệm của phương trình (1)?

c) Hai phương trình trên có tương đương không? Vì sao?

Lời giải:

a) Thay $x=\frac{3}{2}$ vào phương trình (1) ta có:

$2.{\left(\frac{3}{2}\right)}^2-5.\left(\frac{3}{2}\right)+3=0\iff 2.\frac{9}{4}-\frac{15}{2}+3=0$

$\iff \frac{9}{2}-\frac{15}{2}+3=0$ $\iff -3+3=0$

$\iff 0=0$ (đúng)

Vậy $x=\frac{3}{2}$ là nghiệm của phương trình (1).

Thay $x=\frac{3}{2}$vào phương trình (2) ta có:

$3-\left(\frac{2}{3}.\frac{3}{2}-1\right)\left(\frac{3}{2}+2\right)=2.\frac{3}{2}$

$\iff 3-\left(1-1\right)\left(\frac{3}{2}+2\right)=3$

$\iff 3-0.\left(\frac{3}{2}+2\right)=3$

$\iff 3=3$ (đúng)

Vậy $x=\frac{3}{2}$ là nghiệm của phương trình (2).

Do đó $x=\frac{3}{2}$ là nghiệm chung của hai phương trình.

b) Thay x = - 5 vào phương trình (2) ta có:

$3-\left(\frac{2}{3}.\left(-5\right)-1\right)\left(\left(-5\right)+2\right)=2.\left(-5\right)$

$\iff 3-\left(\frac{-10}{3}-1\right)\left(-3\right)=-10$

$\iff 3-\frac{-13}{3}\left(-3\right)=-10$

$\iff 3-13=-10$

$\iff -10=-10$(đúng)

Vậy x = -5 là nghiệm của phương trình (2).

Thay x = -5 vào phương trình (1) ta có:

$2.{\left(-5\right)}^2-5.\left(-5\right)+3=0$

$\iff 2.25+25+3=0$

$\iff 50+25+3=0$

$\iff 78=0$(vô lí)

Do đó x = -5 không phải nghiệm của phương trình (1).

c) Vì x = -5 là nghiệm của phương trình (2) nhưng không phải nghiệm của phương trình (1) nên tập nghiệm hai phương trình này không bằng nhau.

Do đó hai phương trình đã cho không tương đương.

Ví dụ 3: Tìm các giá trị của tham số m để hai phương trình x = 1 và 2mx = m + 1 tương đương.

Lời giải:

Vói phương trình x = 1 $\Rightarrow {\text{S}}_1=\left\{1\right\}$

Để hai phương trình đã cho tương đương thì ${\text{S}}_1$ cũng là tập nghiệm của phương trình 2mx = m + 2

Thay x = 1 vào pương trình ta có:

2m.1 = m + 2

$\iff$2m = m + 2

$\iff$2m – m = 2

$\iff$m = 2

Thay m = 2 vào lại phương trình ta có:

2.2x = 2 + 2

$\iff$4x = 4

$\iff$x = 1 (nghiệm duy nhất)

Do đó m = 2 thì hai phương trình đã cho tương đương.

III. Bài tập tự luyện

Bài 1: Hãy xét xem 3 có là nghiệm của mỗi phương trình sau đây không? Vì sao?

a) 2x + 1 = x + 2

b) 4(2x – 1) = x + 1 + 3(x – 1)

Bài 2: Các cặp phương trình sau đây có tương đương không? Vì sao?

a) $x^2-25=0$ và x = 5

b) 2x – 4 = 2 và x – 3 = 0.

Bài 3: Tìm m để x = 5 là nghiệm của các phương trình sau:

a) 2m + 3(x + 1) = 5

b) $4m{x}^2-4=0$

Bài 4: Cho phương trình: $x^2+2x+5=0$. Chứng minh phương trình đã cho vô nghiệm.

Bài 5: Cho phương trình $\left(x-2\right)\left(x^2-6x+8\right)=0$. Phương trình đã cho có mấy nghiệm? Vì sao?

Bài 6: Cho hai phương trình:

$-2x^2+3x+5=0\text{ (1)}$

$\left(\frac{2}{5}x-1\right)\left(x-1\right)+5=2x\text{ (2)}$

a) Chứng minh $\text{x = }\frac{5}{2}$ là nghiệm của cả hai phương trình.

b) Chứng minh x = -1 là nghiệm của phương trình (1) nhưng không phải nghiệm của phương trình (2)

c) Hai phương trình đã cho có tương đương không? Vì sao?

Bài 7: Cho phương trình x + m = 2x + 1. Tìm giá trị của tham số m để phương trình có nghiệm x = 1.

Bài 8: Tìm các giá trị của tham số m để hai phương trình x = 1 và $2m{x}^2-\left(m+2\right)x+1=0$tương đương.

Bài 9: Cho hai phương trình:

$5x^2+3x-8=0\text{ (1)}$

${\text{-x}}^2+8x-7=0\text{ (2)}$

a) Chứng minh x = 1 là nghiệm chung của hai phương trình.

b) Chứng minh $x=\frac{8}{5}$ là nghiệm của phương trình (1) nhưng không phải nghiệm của phương trình (2).

c) Hai phương trình đã cho có tương đương không? Vì sao?

Bài 10: Cho các phương trình:

$\left(m+4\right)x^2+\left(2m+9\right)x-4=0$ và x = 1.

Tìm giá trị của tham số m để hai phương trình tương đương.