50 bài tập về phân thức đại số và các tính chất cơ bản của phân thức (có đáp án 2023) – Toán 8

Phân thức đại số và các tính chất cơ bản của phân thức và cách giải - Toán lớp 8

I. Lý thuyết

1. Khái niệm phân thức đại số

Phân thức đại số (hay gọi là phân thức) là biểu thức có dạng $\frac{A}{B}$ với A, B là các đa thức và B $\ne$0.

A được gọi là tử thức (hay tử).

B được gọi là mẫu thức (hay mẫu).

2. Hai phân thức bằng nhau

+ Hai phân thức $\frac{A}{B}$ và $\frac{C}{D}$ (B, D $\ne$0) được gọi là bằng nhau nếu A.D = B.C. Ta viết:

$\frac{A}{B}=\frac{C}{D}$(B, D $\ne$0) nếu A.D = B.C

Chú ý:

- Các tính chất của tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau của phân số cũng đúng cho phân thức.

- Các giá trị của biến làm cho mẫu bằng 0 gọi là giá trị làm phân thức vô nghĩa hoặc không xác định.

3. Các tính chất cơ bản của phân thức

- Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác 0 thì được phân thức mới bằng phân thức đã cho.

$\frac{A}{B}=\frac{A.M}{B.M}$(với $\frac{A}{B}$ là phân thức; B, M $\ne$  0)

- Nếu chia cả tử và mẫu của một phân thức cho một nhân tử chung của tử và mẫu ta được một phân thức mới bằng phân thức đã cho.

$\frac{A}{B}=\frac{A:N}{B:N}$(với N là nhân tử chung của A và B)

4. Quy tắc đổi dấu

- Nếu đổi dấu cả tử và mẫu của một phân thức đã cho thì ta được phân thức mới bằng phân thức ban đầu.

$\frac{A}{B}=\frac{-A}{-B}$(với B $\ne$0)

- Nếu đổi dấu tử hoặc mẫu của phân thức và đồng thời đổi dấu phân thức ta được phân thức mới bằng phân thức đã cho.

$\frac{A}{B}=-\frac{-A}{B}=-\frac{A}{-B}$(với B $\ne$0)

II. Các dạng bài tập

Dạng 1: Tìm điều kiện để phân thức có nghĩa

Phương pháp giải: Phân thức $\frac{A}{B}$ có nghĩa khi và chỉ khi B $\ne$0.

Ví dụ 1: Tìm điều kiện để các phân thức sau có nghĩa

a) $\frac{4x-3}{2+x}$

b) $\frac{5x-4}{3x-2}$

Lời giải:

a) Phân thức $\frac{4x-3}{2+x}$ có nghĩa $\iff 2+x\ne 0\iff x\ne -2$

b) Phân thức $\frac{5x-4}{3x-2}$ có nghĩa $\iff 3x-2\ne 0\iff 3x\ne 2\iff x\ne \frac{2}{3}$

Ví dụ 2: Tìm điều kiện để các phân thức sau có nghĩa

a) $\frac{3x+2}{x^2-5x+6}$

b) $\frac{3x-4}{2x^2-7x+3}$

Lời giải:

a) Phân thức $\frac{3x+2}{x^2-5x+6}$ có nghĩa thì $x^2-5x+6\ne 0$

$\iff x^2-3x-2x+6\ne 0$

$\iff x\left(x-3\right)-2\left(x-3\right)\ne 0$

$\iff \left(x-3\right)\left(x-2\right)\ne 0$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x-3\ne 0\\ x-2\ne 0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x\ne 3\\ x\ne 2\end{array}\right.$

Vậy để phân thức có nghĩa thì $x\ne 3$ và $x\ne 2$ .

b) Để phân thức $\frac{3x-4}{2x^2-7x+3}$ có nghĩa thì $2x^2-7x+3\ne 0$

$\iff 2x^2-6x-x+3\ne 0$

$\iff 2x\left(x-3\right)-\left(x-3\right)\ne 0$

$\iff \left(2x-1\right)\left(x-3\right)\ne 0$

$\iff \left\{\begin{array}{l}2x-1\ne 0\\ x-3\ne 0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}2x\ne 1\\ x\ne 3\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x\ne \frac{1}{2}\\ x\ne 3\end{array}\right.$

Vậy để phân thức có nghĩa thì $x\ne \frac{1}{2}$ và $x\ne 3$

Dạng 2: Tính giá trị phân thức tại một giá trị của biến

Phương pháp giải:

Bước 1: Tìm điều kiện có nghĩa của phân thức

Bước 2: Kiểm tra giá trị của biến với điều kiện

Bước 3: Tính giá trị phân thức bằng cách thay giá trị của biến vào phân thức rồi thực hiện tính toán biểu thức số.

Ví dụ 1: Tính giá trị phân thức $\frac{3x+2}{5x+6}$ tại điểm x = 3

Lời giải:

Điều kiện xác định:

$5x+6\ne 0$

$\iff x\ne \frac{-6}{5}$

Thay x = 3 (thỏa mãn điều kiện) vào phân thức ta được

$\frac{3.3+2}{5.3+6}=\frac{11}{21}$

Vậy giá trị phân thức là $\frac{11}{21}$ tại x =3.

Ví dụ 2: Tính giá trị phân thức $\frac{x+2}{x^2-6x+8}$ tại các điểm x = 2 và x = $\frac{-6}{5}$

Lời giải:

Điều kiện xác định:

$x^2-6x+8\ne 0$

$\iff x^2-4x-2x+8\ne 0$

$\iff x\left(x-4\right)-2\left(x-4\right)\ne 0$

$\iff \left(x-2\right)\left(x-4\right)\ne 0$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x-2\ne 0\\ x-4\ne 0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x\ne 2\\ x\ne 4\end{array}\right.$

Với x = 2 (không thỏa mãn điều kiện) nên phân thức không xác định

Với x = $\frac{-6}{5}$ (thỏa mãn điều kiện) thay vào phân thức ta được

$\frac{\frac{-6}{5}+2}{{\left(\frac{-6}{5}\right)}^2-6.\left(\frac{-6}{5}\right)+8}=\frac{\frac{4}{5}}{\frac{416}{25}}=\frac{5}{104}$

Vậy:

Với x = 2 ta không xác định được giá trị của phân thức

Với x = $\frac{-6}{5}$  phân thức có giá trị là $\frac{5}{104}$

Dạng 3: Tìm giá trị của biến để phân thức thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp giải: Cho biểu thức bằng với giá trị cho trước. Sau đó dùng các phương pháp tìm x thông thường để giải.

Ví dụ 1: Tìm x để phân thức $\frac{3x+2}{4x-1}$ có giá trị bằng 2

Lời giải:

Điều kiện xác định:

$4x-1\ne 0$

$\iff 4x\ne 1$

$\iff x\ne \frac{1}{4}$

Ta có: $\frac{3x+2}{4x-1}=2$

$\iff 3x+2=2\left(4x-1\right)$

$\iff 3x+2=8x-2$

$\iff 8x-3x=2+2$

$\iff 5x=4$

$\iff x=\frac{4}{5}$(thỏa mãn điều kiện)

Vậy $x=\frac{4}{5}$ thì phân thức $\frac{3x+2}{4x-1}$ có giá trị là 2.

Ví dụ 2: Cho phân thức A = $\frac{x^2-1}{2x^2-3x+1}$ . Tìm x để A = 1.

Lời giải:

Điều kiện xác định:

$2x^2-3x+1\ne 0$

$\iff 2x^2-2x-x+1\ne 0$

$\iff 2x\left(x-1\right)-\left(x-1\right)\ne 0$

$\iff \left(2x-1\right)\left(x-1\right)\ne 0$

$\iff \left\{\begin{array}{l}2x-1\ne 0\\ x-1\ne 0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}2x\ne 1\\ x\ne 1\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x\ne \frac{1}{2}\\ x\ne 1\end{array}\right.$

Để A = 1 thì $\frac{x^2-1}{2x^2-3x+1}=1$

$\Rightarrow x^2-1=2x^2-3x+1$

$\iff 2x^2-x^2-3x+1+1=0$

$\iff x^2-3x+2=0$

$\iff x^2-2x-x+2=0$

$\iff x\left(x-2\right)-\left(x-2\right)=0$

$\iff \left(x-2\right)\left(x-1\right)=0$

$\iff \left[\begin{array}{l}x-2=0\\ x-1=0\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=2\left(tm\right)\\ x=1\left(ktm\right)\end{array}\right.$

Vậy để A = 1 thì x = 2.

Dạng 4: Chứng minh phân thức bằng nhau

Phương pháp giải: Hai phân thức $\frac{A}{B}$ và $\frac{C}{D}$  (B, D $\ne$0) được gọi là bằng nhau nếu A.D = B.C. Ta viết:

$\frac{A}{B}=\frac{C}{D}$ (B, D $\ne$0) nếu A.D = B.C

Chọn một trong bốn cách biến đổi sau

Cách 1: Dùng định nghĩa $\frac{A}{B}=\frac{C}{D}$ (B, D $\ne$0) nếu A.D = B.C

Cách 2: Biến đổi vế trái thành vế phải.

Cách 3: Biến đổi vế phải thành vế trái.

Cách 4: Biến đổi đồng thời cả hai vế.

Ví dụ 1: Chứng minh đẳng thức sau $\frac{2x-1}{2x^2+3x-2}=\frac{1}{x+2}$với $x\ne -2;x\ne \frac{1}{2}$

Lời giải:

Đặt

$VT=\frac{2x-1}{2x^2+3x-2}$

$VP=\frac{1}{x+2}$

Ta biến đổi vế trái

$VT=\frac{2x-1}{2x^2+3x-2}$

$\iff VT=\frac{2x-1}{2x^2+4x-x-2}$

$\iff VT=\frac{2x-1}{2x\left(x+2\right)-\left(x+2\right)}$

$\iff VT=\frac{2x-1}{\left(x+2\right)\left(2x-1\right)}$

$VT=\frac{1}{x+2}=VP$ (điều phải chứng minh).

Ví dụ 2: Hai phân thức $\frac{x-4}{x^2-5x+4}$ và $\frac{x-2}{x^2-3x+2}$ có bằng nhau không với $x\ne 2;x\ne 4;x\ne 1$

Lời giải:

Ta có:

$\frac{x-4}{x^2-5x+4}=\frac{x-4}{x^2-4x-x+4}$

$=\frac{x-4}{x\left(x-4\right)-\left(x-4\right)}=\frac{x-4}{\left(x-1\right)\left(x-4\right)}$

$=\frac{1}{x-1}$ (1)

Ta lại có:

$\frac{x-2}{x^2-3x+2}=\frac{x-2}{x^2-2x-x+2}$

$=\frac{x-2}{x\left(x-2\right)-\left(x-2\right)}=\frac{x-2}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}$

$=\frac{1}{x-1}$(2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow \frac{x-4}{x^2-5x+4}=\frac{x-2}{x^2-3x+2}=\frac{1}{x-1}$ (điều phải chứng minh).

Dạng 5: Tìm phân thức thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp giải: Ta thực hiện theo hai bước

Bước 1: Phân tích tử thức, mẫu thức ở cả hai vế

Bước 2: Triệt tiêu các nhân tử chung và rút ra đa thức cần tìm.

Chú ý: Áp dụng tính chất của hai phân thức bằng nhau

$\frac{A}{B}=\frac{C}{D}\iff A.D=B.C\left(B,D\ne 0\right)$

Ví dụ 1: Tìm đa thức A trong đẳng thức sau $\frac{x-1}{x^2+2x+4}=\frac{A}{x^3-8}$ với $x\ne 2$ .

Lời giải:

$\frac{x-1}{x^2+2x+4}=\frac{A}{x^3-8}$

$\iff \frac{x-1}{x^2+2x+4}=\frac{A}{\left(x-2\right)\left(x^2+2x+4\right)}$

Ta có:

$x^2+2x+4=x^2+2x+1+3={\left(x+1\right)}^2+3$

Vì ${\left(x+1\right)}^2\ge 0$  với mọi x nên ${\left(x+1\right)}^2+3\ge 3$ với mọi x

$\Rightarrow x^2+2x+4\ne 0$

Nhân cả hai vế với $x^2+2x+4$

$\Rightarrow x-1=\frac{A}{x-2}$

$\Rightarrow A=\left(x-1\right)\left(x-2\right)$

$\iff A=x^2-2x-x+2$

$\iff A=x^2-3x+2$

Vậy $A=x^2-3x+2$  với $x\ne 2$ .

Ví dụ 2: Tìm đa thức B thỏa mãn đẳng thức sau $\frac{2x^3+4x^2}{x^2-4}=\frac{B}{x-2}$ với $x\ne \pm 2$ .

Lời giải:

$\frac{2x^3+4x^2}{x^2-4}=\frac{B}{x-2}$ 

$\iff \frac{2x^2\left(x+2\right)}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}=\frac{B}{x-2}$

$\iff \frac{2x^2}{x-2}=\frac{B}{x-2}$

$\iff 2x^2=B$(vì  nên x – 2 0)

Vậy B = $2x^2$ với $x\ne \pm 2$ .

III. Bài tập vận dụng

Bài 1: Tìm điều kiện của các phân thức sau

a) $\frac{4x-1}{2x+5}$

b) $\frac{4x-2}{2x^2-3x+1}$

c) $\frac{3x-1}{{\left(x-2\right)}^2}$

d) $\frac{2x-3}{x^3-x^2+x-1}$

Bài 2: Tính giá trị phân thức

a) $\frac{4x-3}{2x^2-3x+1}$ với x = 2

b) $\frac{3x-1}{2x-5}$ với $x=\frac{1}{2}$

Bài 3: Tìm các đa thức B trong mỗi trường hợp sau

a) $\frac{2x-1}{x-3}.\frac{1}{B}=\frac{1}{x^2-4x+3}$ với $x\ne \frac{1}{2};x\ne 1;x\ne \frac{1}{3}$

b) $\frac{B}{2x-3}=\frac{2x^2+3x}{4x^2-9}$ với $x\ne \pm \frac{3}{2}$

Bài 4: Tính giá trị phân thức $A=\frac{x^2-2x-3}{x^2-2x+1}$  tại x trong các trường hợp sau:

a) $x=3$

b) $2x-1=1$

c) $\left|4x+3\right|=7$

Bài 5: Chứng minh các đẳng thức bằng nhau $\frac{-x^2+3x-2}{\left(x-1\right)\left(x+2\right)}=\frac{x^2-4x+4}{4-x^2}$ với $x\ne \pm 2;x\ne 1$

Bài 6: Tìm một cặp đa thức A, B thỏa mãn đẳng thức $\frac{\left(x^2-1\right)A}{x^2-2x+1}=\frac{\left(x+1\right)B}{x^2-x-6}$

Với $x\ne 1;x\ne -2;x\ne 3$

Bài 7: Cho ba phân thức $\frac{x^2-x-2}{x^2+x};\frac{x-2}{x};\frac{x^2-3x+2}{x^2-x}$ có bằng nhau không? Vì sao?

Bài 8:  Cho đẳng thức $\frac{\left(x+3\right)A}{x-3}=\frac{\left(x-1\right)B}{x^2-9}$ với $x\ne \pm 3$ . Tìm cặp số A, B thỏa mãn.

Bài 9: Tìm đa thức M thỏa mãn mỗi đẳng thức sau:

a) $\frac{x+1}{M}=\frac{x^2-2x+4}{x^3+8}$ với $x\ne -1;x\ne -2$

b) $\frac{x-3}{x+3}.M=\frac{2x^3-8x^2-6x+36}{x+2}$ với $x\ne \pm 3;x\ne -2$

Bài 10: Cho $B=\frac{3x^2-10x+3}{x^2-4x+3}$ với $x\ne 2;x\ne 3$

Tính giá trị của B khi x thỏa mãn  $x^2-8x+15=0$