50 bài tập về phân thức đại số (có đáp án 2023) – Toán 8

Với cách giải Các phép toán về phân thức đại số môn Toán lớp 8 Đại số gồm phương pháp giải chi tiết, bài tập minh họa có lời giải và bài tập tự luyện sẽ giúp học sinh biết cách làm bài tập Các phép toán về phân thức đại số. Mời các bạn đón xem:

Các phép toán về phân thức đại số và cách giải bài tập - Toán lớp 8

I. Lý thuyết

1. Phép cộng các phân thức đại số

a) Quy tắc cộng hai phân thức cùng mẫu thức

Muốn cộng hai phân thức cùng mẫu thức ta cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức (tương tự như cộng hai phân số cùng mẫu).

b) Quy tắc cộng hai phân thức khác mẫu thức

Bước 1: Quy đồng mẫu thức

Bước 2: Cộng hai phân thức cùng mẫu vừa tìm được.

c) Tính chất của phép cộng

Cho ba phân thức AB;CD;EFvới B;D;F0

+ Tính giao hoán: AB+CD=CD+AB

+ Tính kết hợp: AB+CD+EF=AB+CD+EF

+ Cộng với 0: AB+0=0+AB=AB.

2. Phép trừ các phân thức đại số

a) Phân thức đối

- Hai phân thức được gọi là đối nhau nếu tổng của chúng bằng 0.

- Phân thức AB là phân thức đối của ABvới B0 và ngược lại phân thức AB là phân thức đối của phân thức AB. Ta có: AB+AB=0.

Như vậy: AB=AB và AB=AB.

b) Quy tắc trừ hai phân thức đại số

Muốn trừ phân thức AB cho phân thức CD ta lấy phân thức AB cộng với phân thức đối của CD:

ABCD=AB+CD với B;D0.

3. Phép nhân các phân thức đại số

a) Quy tắc nhân phân thức

Muốn nhân hai phân thức ta nhân tử thức với tử thức và mẫu thức với mẫu thức

AB.CD=ACBD với B;D0.

b) Tính chất của phép nhân:

Cho ba phân thức AB;CD;EFvới B;D;F0

- Tính giao hoán: AB.CD=CD.AB

- Tính kết hợp: AB.CD.EF=AB.CD.EF

- Tính phân phối: AB+CD.EF=AB.EF+CD.EF

4. Phép chia các phân thức đại số

a) Hai phân thức nghịch đảo

- Hai phân thức nghịch đảo là hai phân thức mà tích của chúng bằng 1.

- Nếu AB là một phân thức khác 0 thì AB.BA=1, do đó:

+ Phân thức nghịch đảo của AB BA.

+ Phân thức nghịch đảo của BA là AB.

b) Quy tắc chia hai phân thức.

Muốn chia phân thức ABcho phân thức CD CD0, ta nhân phân thức ABvới nghịch đảo của phân thức CD

Tức là AB:CD=AB.DC=ADBCCD0.

Chú ý: Thứ tự thực hiện các phép tính về phân thức cũng giống như thứ tự thực hiện các phép tính về số.

II. Các dạng bài tập

Dạng 1: Cộng các phân thức đại số

Phương pháp giải: Sử dụng kết hợp hai quy tắc cộng phân thức đại số cùng với các tính chất của phân thức đại số để giải toán

Ví dụ 1:  Cộng các phân thức đại số sau:

a) 10+xx2+x18x2+x+2x24 với x±2

b) 2xy2+2x3yx2y2+3x2y với x0;y0

c) 33x2x+3x12x1+11x52x4x2 với x0;x12.

Lời giải:

a) 10+xx2+x18x2+x+2x24

=10+xx2+x18x2+x+2x2x+2

=10+xx2+x18x2+1x2

=10+x+x18+1x2

=2x7x2với x±2.

b) 2xy2+2x3yx2y2+3x2y

=2xx2y2+2x3yx2y2+3yx2y2

=2x+2x3y+3yx2y2

=4xx2y2=4xy2 với x0;y0.

c) 33x2x+3x12x1+11x52x4x2

=33x2x+3x12x1+11x54x22x

=33x2x+3x12x1+11x+52x2x1

=33x2x12x2x1+3x1.2x2x2x1+11x+52x2x1

=6x6x23+3x2x2x1+6x22x2x2x1+11x+52x2x1

=6x6x23+3x+6x22x+11x+52x2x1

=6x6x23+3x+6x22x11x+52x2x1

=6x26x2+6x+3x2x11x+3+52x2x1

=4x+22x2x1

=22x12x2x1

=1xvới x0;x12.

Ví dụ 2:  Cho A = xx2y+xx+2y+4xy4y2x2 với y±2x

a) Rút gọn A.

b) Tính A khi x = 1; y = 3.

Lời giải:

a) A=xx2y+xx+2y+4xy4y2x2

A=xx2y+xx+2y+4xyx24y2

A=xx2y+xx+2y+4xyx2yx+2y

A=xx+2yx2yx+2y+xx2yx2yx+2y+4xyx2yx+2y

A=x2+2xyx2yx+2y+x22xyx2yx+2y+4xyx2yx+2y

A=x2+2xy+x22xy+4xyx2yx+2y

A=x2+2xy+x22xy+4xyx2yx+2y

A=x2+x2+2xy2xy+4xyx2yx+2y

A=2x2+4xyx2yx+2y

A=2xx+2yx2yx+2y

A=2xx2y

b) Với x = 1; y = 3 (thỏa mãn điều kiện) thay vào A ta được:

A=2.112.3=216=25

Vậy A=25 khi x = 1; y = 3.

Dạng 2: Trừ các phân thức đại số

Phương pháp giải: Thực hiện theo 2 bước

Bước 1: Áp dụng quy tắc cộng với phân thức đối

Bước 2: Áp dụng quy tắc cộng cùng mẫu thức và khác mẫu thức

Ví dụ 1: Thực hiện phép tính

a) 4xy15x2y2xy15x2y với x0;y0

b) x+1x51xx+52x1x25x2 với x±5.

Lời giải:

a) 4xy15x2y2xy15x2y

=4xy15x2y+2xy15x2y

=4xy12xy15x2y

=4xy12xy+15x2y

=4xy2xy+1+15x2y

=2xy5x2y=25xvới x0;y0

b) x+1x51xx+52x1x25x2

=x+1x51xx+5+2x2x2x225

=x+1x51xx+5+2x2x2x5x+5

=x+1x+5x5x+51xx5x5x+5+2x2x2x5x+5

=x2+x+5x+5x5x+5xx2+5x5x5x+5+2x2x2x5x+5

=x2+x+5x+5xx2+5x5+2x2x2x5x+5

=x2+x+5x+5x+x25x+5+2x2x2x5x+5

=x2+x22x2+x+5xx5x+2x+5+5x5x+5

=2x+10x5x+5

=2x+5x5x+5

=2x5với x±5

Ví dụ 2: Chứng minh biểu thức 1x1x+3=3xx+3. Từ đó, hãy tính biểu thức

M=1xx+3+1x+3x+6+...+1x+12x+15 với x thỏa mãn tất cả các mẫu khác 0.

Lời giải:

* Chứng minh biểu thức:

1x1x+3=x+3xx+3xxx+3 =x+3xxx+3=3xx+3 (điểu phải chứng minh)

* Tính giá trị M:

Ta có:

1x1x+3=x+3xx+3xxx+3 =x+3xxx+3=3xx+3

1xx+3=131x1x+3

1x+31x+6=x+6x+3x+6x+3x+3x+6=x+6x3x+3x+6=3x+3x+6

1x+3x+6=131x+31x+6

Chứng minh tương tự:

….

1x+12x+15=131x+121x+15

Do đó:

M=131x1x+3+131x+31x+6+...+131x+121x+15

M=131x1x+3+1x+31x+6+...+1x+121x+15

M=131x1x+15

M=13x+15xx+15xxx+15

M=13.x+15xxx+15

M=13.15xx+15=5xx+15

Vậy M=5xx+15.

Dạng 3: Nhân các phân thức đại số

Phương pháp giải: Vận dụng các quy tắc nhân phân thức đại số

Chú ý: Đối với phép nhân có nhiều hơn hai phân thức ta vẫn nhân các tử thức với nhau và các mẫu thức với nhau. Nếu có dấu ngoặc ta ưu tiên thực hiện phép tính trong ngoặc trước.

Ví dụ 1: Thực hiện phép tính

a) A=x2x+3.x29x3với x0;x3

b) B=x+3x24.812x+6x2x3x+3với x3;x±2

c) C=x12x.x3x1x2x1 với x0;x1.

Lời giải:

a) A=x2x+3.x29x3

A=x2.x29x+3.x3

A=x2x3x+3x+3.x3

A=x3xvới x0;x3.

b) B=x+3x24.812x+6x2x3x+3

B=x+3x+2x2.2x3x+3

B=x+32x3x+2x2x+3

B=x23x+2x2

B=x22x+2với x3;x±2.

c) C=x12x.x3x1x2x1

C=x12x.x3x1x2+x+1

C=x12x.x3x1x2+x+1x1x1

C=x12x.x3x1x31x1

C=x12xx3x3+1x1

C=x12x.1x1=12xvới x0;x1.

Ví dụ 2: Tính hợp lí biểu thức sau

M=11x.11+x.11+x2.11+x4.11+x8.11+x16với x±1.

Lời giải:

M=11x.11+x.11+x2.11+x4.11+x8.11+x16

M=11x.11+x.11+x2.11+x4.11+x8.11+x16

M=11x1+x.11+x2.11+x4.11+x8.11+x16

M=11x2.11+x2.11+x4.11+x8.11+x16

M=11x2.11+x2.11+x4.11+x8.11+x16

M=11x21+x2.11+x4.11+x8.11+x16

M=11x4.11+x4.11+x8.11+x16

M=11x4.11+x4.11+x8.11+x16

M=11x41+x4.11+x8.11+x16

M=11x8.11+x8.11+x16

M=11x8.11+x8.11+x16

M=11x81+x8.11+x16

M=11x16.11+x16=11x16.1+x16

M=11x32 với x±1.

Dạng 4: Chia các phân thức đại số

Phương pháp giải: Vận dụng quy tắc chia phân thức.

Chú ý: Đối với phép chia có nhiều hơn hai phân thức, ta vẫn nhân với nghịch đảo của các phân thức đứng sau dấu chia theo thứ tự từ trái sang phải. Ưu tiên tính toán biểu thức trong ngoặc trước.

Ví dụ 1: Làm tính chia

a) x315x+10:x1x+2với x2;x1

b) x24xy+4y2x2xy+y2:4x8y2x3+2y3 với xy;x2y

c) x+4x+5:x+5x+6:x+6x+4 với x4;x5;x6.

Lời giải:

a) x315x+10:x1x+2

=x315x+10x+2x1

=x1x2+x+15x+2x+2x1

=x1x2+x+1x+25x+2x1

=x2+x+15 với x2;x1

b) x24xy+4y2x2xy+y2:4x8y2x3+2y3

=x24xy+4y2x2xy+y22x3+2y34x8y

=x2y2x2xy+y22x3+y34x2y

=x2y2x2xy+y22x+yx2xy+y24x2y

=x2y2.2x+yx2xy+y2x2xy+y2.4x2y

=x2yx+y2 với xy;x2y

c) x+4x+5:x+5x+6:x+6x+4 

=x+4x+5x+6x+5x+4x+6

=x+4x+6x+4x+5x+5x+6

=x+42x+52 với x4;x5;x6.

Ví dụ 2: Tìm đa thức A biết:

2x+3yx3y3.A=4x2+6xy3x2+3xy+3y2 với xy;x32y.

Lời giải:

2x+3yx3y3.A=4x2+6xy3x2+3xy+3y2

A=4x2+6xy3x2+3xy+3y2:2x+3yx3y3

A=4x2+6xy3x2+3xy+3y2.x3y32x+3y

A=2x2x+3y3x2+xy+y2.xyx2+xy+y22x+3y

A=2xxy3 với xy.

Dạng 5: Sử dụng kết hợp các phép toán về phân thức đại số

Phương pháp giải: Sử dụng phối hợp các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia của phân thức cùng với quy tắc dấu ngoặc.

Thứ tự thực hiện phép tính:

- Nếu phép tính chỉ có cộng, trừ hoặc chỉ có nhân, chia ta thực hiện theo thứ tự từ trái sang phải.

- Nếu phép tính có cả cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên lũy thừa, ta thực hiện phép tính nâng lên lũy thừa trước, rồi đến nhân, chia cuối cùng là đến, cộng trừ.

Lũy thừa nhân và chia  cộng và trừ.

- Nếu biểu thức có dấu ngoặc: ngoặc tròn ( ), ngoặc vuông [ ], ngoặc nhọn { }, ta thực hiện theo thứ tự

( ) [ ] { }

Ví dụ: Thực hiện phép tính

a) A=x+2x1.x2x+1+28x+7x21 với x±1

b) B=3x14x+2x4x+1:16x2+20x16x28x+1 với x±14

Lời giải:

a) A=x+2x1.x2x+1+28x+7x21

A=x+2x1.x2x+1+2x+1x+18x+7x21

A=x+2x1.x2x+1+2x+2x+18x+7x21

A=x+2x1.x2x+1+2x+2x+18x+7x21

A=x+2x1.x2+2x+2x+18x+7x21

A=x+2x2+2x+2x218x+7x21

A=x3+2x2+2x+2x2+4x+4x218x+7x21

A=x3+2x2+2x+2x2+4x+48x+7x21

A=x3+2x2+2x2+2x+4x8x+47x21


A=x3+4x22x3x21

A=x31+4x22x2x1x+1

A=x1x2+x+1+22x2x1x1x+1

A=x1x2+x+1+22x22x+x1x1x+1

A=x1x2+x+1+4x+2x1x+1

A=x2+5x+3x+1 với x±1.

b) B=3x14x+2x4x+1:16x2+20x16x28x+1

B=3x.4x+114x4x+1+2x14x14x4x+1:16x2+20x16x28x+1

B=12x2+3x14x4x+1+2x8x214x4x+1.16x28x+116x2+20x

B=12x2+3x+2x8x214x4x+1.14x24x4x+5

B=4x2+5x14x4x+1.14x24x4x+5

B=x4x+514x4x+1.14x24x4x+5

B=x4x+514x214x4x+14x4x+5

B=14x41+4x với x±14.

III. Bài tập tự luyện

Bài 1: Thực hiện phép tính

a) 2x2x3+x2x23x+75xx3  với x3

b) 1x23x+2+1x24x+3+1x25x+6  với x1;x2;x3

c) xx2+xy+x3yy2x2+xxyx2  với x0;x±y.

Bài 2: Thực hiện phép tính

a) 1x+31x32xx29  với x±3

b) 1x2x+1+1x2+2x3+1  với x1

c) 5x+xx+630x2+6x  với x6;x0.

Bài 3: Thực hiện phép tính:

a) x2492x+1.37xvới x12;x7

b) x3x+1.x27x8x25x+6với x1;x2;x3

c) x312x+4.1x1x+1x2+x+1với x2;x1

d) x3x2017.20012xx+2+x3x2017.x+16x+2với x2;x2017.

Bài 4: Thực hiện phép tính

a) x225:4x+203x1 với x5;x13

b) x2+2x3x26x+3:2x+45x5 với x2;x1

c) x+7x+8:x+8x+9.x+9x+7 với x7;x8;x9

d) 4x+6yx2:4x2+12xy+9y28x3 với x2;x32y.

Bài 5: Tìm các phân thức Q và P trong các trường hợp sau:

a) 4x2+x+1P=21x+2x2+4xx31  với x0;x1

b) 2x21+Q=6x32x21x2  với x±1;x3.

Bài 6: Tìm phân thức P, Q biết

a) P.x2+3xx4=x29x24x với x3;x0;x4

b) Q:4x242x+3=4x2+12x+9x1 với x32;x1.

Bài 7: Thực hiện phép tính

A=x2x8.x2+64x16+19 với x0;x8.

Bài 8: Thực hiện phép tính

B=x2+18+x4.2x12x+1 với x±1.

Bài 9: Tìm phân thức T biết

1xxx+2x+2x+4x+4x+6...x+14x+16x+16x+18x+18x+20T=12.

Giả thuyết tất cả các mẫu thức khác 0.

Bài 10: Tính hợp lí biểu thức

N=12x1.12x+1.14x2+1.116x4+1với x±12.

Bài 11: Chứng minh biểu thức 1a1a+2=2aa+2. Từ đó, hãy tính biểu thức

A=1aa+2+1a+2a+4+...+1a+78a+80 với x thỏa mãn tất cả các mẫu khác 0.

 
Bình luận (0)

Đăng nhập để có thể bình luận

Chưa có bình luận nào. Bạn hãy là người đầu tiên cho tôi biết ý kiến!