50 bài tập về công thức nhân, chia phân thức (có đáp án 2023) – Toán 8

Công thức nhân, chia phân thức hay, chi tiết - Toán lớp 8

I. Lý thuyết

1. Phép nhân các phân thức đại số

a) Quy tắc nhân phân thức

Muốn nhân hai phân thức ta nhân tử thức với tử thức và mẫu thức với mẫu thức

$\frac{A}{B}.\frac{C}{D}=\frac{AC}{BD}$ với $\left(B;D\ne 0\right)$ .

b) Tính chất của phép nhân:

Cho ba phân thức $\frac{A}{B};\frac{C}{D};\frac{E}{F}$  với $\left(B;D;F\ne 0\right)$

- Tính giao hoán: $\frac{A}{B}.\frac{C}{D}=\frac{C}{D}.\frac{A}{B}$

- Tính kết hợp: $\left(\frac{A}{B}.\frac{C}{D}\right).\frac{E}{F}=\frac{A}{B}.\left(\frac{C}{D}.\frac{E}{F}\right)$

- Tính phân phối: $\left(\frac{A}{B}+\frac{C}{D}\right).\frac{E}{F}=\frac{A}{B}.\frac{E}{F}+\frac{C}{D}.\frac{E}{F}$

2. Phép chia các phân thức đại số

a) Hai phân thức nghịch đảo

- Hai phân thức nghịch đảo là hai phân thức mà tích của chúng bằng 1.

- Nếu $\frac{A}{B}$  là một phân thức khác 0 thì $\frac{A}{B}.\frac{B}{A}=1$ , do đó:

+ Phân thức nghịch đảo của $\frac{A}{B}$  là $\frac{B}{A}$.

+ Phân thức nghịch đảo của $\frac{B}{A}$  là $\frac{A}{B}$ .

b) Quy tắc chia hai phân thức.

Muốn chia phân thức $\frac{A}{B}$cho phân thức $\frac{C}{D}$$\left(\frac{C}{D}\ne 0\right)$ , ta nhân phân thức $\frac{A}{B}$  với nghịch đảo của phân thức $\frac{C}{D}$

Tức là $\frac{A}{B}:\frac{C}{D}=\frac{A}{B}.\frac{D}{C}=\frac{AD}{BC}$$\left(\frac{C}{D}\ne 0\right)$.

II. Các ví dụ

Ví dụ 1: Thực hiện phép tính:

$A=\frac{3x-1}{5x+1}.\frac{25x^2+10x+1}{1-9x^2}$ với $x\ne \frac{-1}{5};x\ne \pm \frac{1}{3}$ .

Lời giải:

$A=\frac{3x-1}{5x+1}.\frac{25x^2+10x+1}{1-9x^2}$

$\iff A=\frac{3x-1}{5x+1}.\frac{{\left(5x+1\right)}^2}{\left(1+3x\right).\left(1-3x\right)}$

$\iff A=\frac{\left(3x-1\right).{\left(5x+1\right)}^2}{\left(5x+1\right).\left(1+3x\right).\left(1-3x\right)}$

$\iff A=\frac{-\left(3x-1\right).{\left(5x+1\right)}^2}{\left(5x+1\right).\left(1+3x\right).\left(3x-1\right)}$

$\iff A=\frac{-\left(5x+1\right)}{\left(1+3x\right)}$

$\iff A=\frac{-5x-1}{1+3x}$

Vậy $A=\frac{-5x-1}{1+3x}$  với $x\ne \frac{-1}{5};x\ne \pm \frac{1}{3}$ .

Ví dụ 2: Thực hiện phép tính

$P=\frac{x+7}{x+8}:\frac{x+8}{x+9}:\frac{x+9}{x+7}$ với $x\ne -7;x\ne -8;x\ne -9$ .

Lời giải:

$P=\frac{x+7}{x+8}:\frac{x+8}{x+9}:\frac{x+9}{x+7}$

$\iff P=\frac{x+7}{x+8}.\frac{x+9}{x+8}:\frac{x+9}{x+7}$

$\iff P=\frac{\left(x+7\right)\left(x+9\right)}{{\left(x+8\right)}^2}:\frac{x+9}{x+7}$

$\iff P=\frac{\left(x+7\right)\left(x+9\right)}{{\left(x+8\right)}^2}.\frac{x+7}{x+9}$

$\iff P=\frac{\left(x+7\right)\left(x+9\right)\left(x+7\right)}{{\left(x+8\right)}^2\left(x+9\right)}$

$\iff P=\frac{{\left(x+7\right)}^2}{{\left(x+8\right)}^2}$

Vậy $P=\frac{{\left(x+7\right)}^2}{{\left(x+8\right)}^2}$ với $x\ne -7;x\ne -8;x\ne -9$ .

Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức:

$B=\left(4x^2-1\right)\left(\frac{1}{2x-1}-\frac{1}{2x+1}-1\right)$ với $x\ne \pm \frac{1}{2}$ .

Lời giải:

 $B=\left(4x^2-1\right)\left(\frac{1}{2x-1}-\frac{1}{2x+1}-1\right)$

$\iff B=\left(4x^2-1\right)\left(\frac{2x+1}{\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)}-\frac{2x-1}{\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)}-\frac{\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)}{\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)}\right)$

$\iff B=\left(4x^2-1\right)\left(\frac{\left(2x+1\right)-\left(2x-1\right)-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)}{\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)}\right)$

$\iff B=\left(4x^2-1\right)\left(\frac{2x+1-2x+1-4x^2+1}{\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)}\right)$

$\iff B=\left(4x^2-1\right)\left(\frac{-4x^2+3}{4x^2-1}\right)$

$\iff B=\frac{\left(4x^2-1\right)\left(-4x^2+3\right)}{4x^2-1}$

$\iff B=-4x^2+3$

Vậy $B=-4x^2+3$  với $x\ne \pm \frac{1}{2}$.