50 Bài tập Tứ giác nội tiếp (có đáp án năm 2023) - Toán 9

Kiến thức cần nhớ 

1. Khái niệm về tứ giác nội tiếp

Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn (gọi tắt là tứ giác nội tiếp).

Ví dụ 1. Bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên đường tròn (O) như hình vẽ.

Do đó, ta gọi tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp.

Ví dụ 2. Bốn điểm M, N, P, Q không cùng nằm trên đường tròn (I) như hình vẽ.

Do đó, ta gọi tứ giác MNPQ không là tứ giác nội tiếp.

2. Định lí

Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 180°.

Ví dụ 3. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Chứng minh $\widehat{BAD}+\widehat{BCD}={180}^o$.

Lời giải:

Theo tính chất góc nội tiếp chắn cung, ta có:

3. Định lí đảo

Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 180° thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn.

Ví dụ 4. Cho tứ giác ABCD có $\widehat{A}={100}^o;\widehat{C}={80}^o$.

Khi đó, tứ giác ABCD có $\widehat{A}+\widehat{C}={100}^o+{80}^o={180}^o$.

Do đó tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn.

4. Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp

- Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180°.

- Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện.

- Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm (mà ta có thể xác định được). Điểm đó là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó.

- Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc α.

- Chú ý: Để chứng minh một tứ giác là tứ giác nội tiếp ta có thể chứng minh tứ giác đó là một trong các hình sau: Hình chữ nhật, hình vuông, hình thang cân.

Ví dụ 5. Tứ giác ABCD có , góc ngoài của tam giác tại đỉnh A có số đo bằng 80^o.

Xét tứ giác ABCD có:

+ $\widehat{A}$ và $\widehat{C}$ là hai góc đối diện.

+ Góc ngoài đỉnh A và góc trong đỉnh C có tổng số đo bằng 180^o.

Do đó tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn.

Bài tập tự luyện 

Bài 1: Biết ABCD là tứ giác nội tiếp. Hãy điền vào ô trống trong bảng sau (nếu có thể ):

Lời giải

Tứ giác nội tiếp có tổng hai góc đối bằng 180⁰ nên:

- Điền vào ô trống:

- Cách tính:

Bài 2: Tứ giác ABCD có góc ABC + góc ADC = 180^o. Chứng minh rằng các đường trung trực của AC, BD, AB cùng đi qua một điểm.

Lời giải

Tứ giác ABCD có 

⇒ ABCD là tứ giác nội tiếp

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD

⇒ OA = OB = OC = OD = R

Do OA= OC nên ΔOAC cân tại O, đường trung tuyến kẻ từ O cũng chính là đường cao của tam giác. Suy ra, O thuộc đường trung trực của AC.

Do OB= OD nên ΔOBD cân tại O, đường trung tuyến kẻ từ O cũng chính là đường cao của tam giác. Suy ra, O thuộc đường trung trực của BD

Do OA= OB nên ΔOAB cân tại O, đường trung tuyến kẻ từ O cũng chính là đường cao của tam giác. Suy ra, O thuộc đường trung trực của AB.

⇒ O thuộc đường trung trực của AC, BD, AB .

Vậy các đường trung trực của AC, BD, AB cùng đi qua O.

Bài 3: Cho ABCD là một tứ giác nội tiếp đường tròn tâm M, biết: $\widehat{DAB}={80}^o$, $\widehat{DAM}={30}^o$, $\widehat{BMC}={70}^o$. Hãy tính số đo các góc $\widehat{MAB},\widehat{BCM},\widehat{AMB},\widehat{DMC},\widehat{AMD},\widehat{MCD}$ và $\widehat{BCD}$.

Lời giải

Ta có: $\widehat{MAB}=\widehat{DAB}-\widehat{DAM}={80}^o-{30}^o={50}^o$ (1)

Xét tam giác MBC có:

MB = MC (cùng bằng bán kính đường tròn (O))

Do đó, tam giác MBC cân tại M

$\Rightarrow \widehat{BCM}=\widehat{CBM}=\frac{{180}^o-\widehat{BMC}}{2}=\frac{{180}^o-{70}^o}{2}={55}^o$

Xét tam giác MAB có:

MA = MB (cùng bằng bán kính đường tròn (O))

Do đó, tam giác MAB cân tại M

$\Rightarrow \widehat{MAB}=\widehat{MBA}$

$\Rightarrow \widehat{AMB}={180}^o-2\widehat{MAB}={180}^o-{2.50}^o={80}^o$

Ta có: Góc BAD là góc nội tiếp chắn cung BCD

$\Rightarrow \widehat{BAD}=\frac{1}{2}$sđ$\stackrel{⏜}{BCD}$

$\Rightarrow$sđ $\stackrel{⏜}{BCD}=2\widehat{BAD}={2.80}^o={160}^o$

Mà ta có:

Góc BMC là góc ở tâm chắn cung nhỏ BC $\Rightarrow$sđ$\stackrel{⏜}{BC}=\widehat{BMC}={70}^o$

sđ $\stackrel{⏜}{DC}=$sđ$\stackrel{⏜}{BCD}-$ sđ $\stackrel{⏜}{BC}={160}^o-{70}^o={90}^o$ 

Mà góc DMC là góc ở tâm chắn cung nhỏ DC $\Rightarrow \widehat{DMC}={90}^o$

Xét tam giác MAD có:

MA = MD (cùng bằng bán kính đường tròn (O))

Do đó, tam giác MAD cân tại M

$\Rightarrow \widehat{MAD}=\widehat{MDA}$

$\Rightarrow \widehat{AMD}={180}^o-2.\widehat{MAD}={180}^o-{2.30}^o={120}^o$

Xét tam giác MCD có:

MC = MD (cùng bằng bán kính đường tròn (O))

$\widehat{DMC}={90}^o$ (chứng minh trên)

Do đó, tam giác MCD vuông cân tại M

$\Rightarrow \widehat{MDC}=\widehat{MCD}={45}^o$

Ta lại có: Tia CM là tia nằm giữa hai tia CB, CD nên ta có:

$\widehat{BCD}=\widehat{BCM}+\widehat{MCD}={55}^o+{45}^o={100}^o$.

Bài 4: Xem hình 47. Hãy tìm số đo các góc của tứ giác ABCD.

Lời giải

Bài 5: Trong các hình sau, hình nào nội tiếp được trong một đường tròn:

Hình bình hành, hình chữ nhật, hình vuông, hình thang, hình thang vuông, hình thang cân? Vì sao?

Lời giải

Các hình nội tiếp được trong một đường tròn là:

+ Hình chữ nhật:

Hình chữ nhật ABCD có:

⇒ ABCD nội tiếp trong một đường tròn. Đường tròn đó là đường tròn đường kính AC.

+ Hình vuông:

Vì hình vuông là hình chữ nhật

⇒ Hình vuông cũng nội tiếp trong một đường tròn.

+ Hình thang cân:

Hình thang cân ABCD có:

⇒ ABCD nội tiếp trong một đường tròn.

Bài 6: Cho tam giác đều ABC. Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa đỉnh A, lấy điểm D sao cho DB = DC và 

a) Chứng minh tứ giác ABDC là tứ giác nội tiếp.

b) Xác định tâm của đường tròn đi qua bốn điểm A, B, D, C.

Lời giải

⇒ AD là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD Mà ABDC là tứ giác nội tiếp

⇒ AD là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABDC.

⇒ tâm O là trung điểm AD.

Vậy tâm đường tròn đi qua bốn điểm A, B, D, C là trung điểm AD.

Bài 7: Cho hình bình hành ABCD. Đường tròn đi qua ba đỉnh A, B, C cắt đường thẳng CD tại P khác C. Chứng minh AP = AD.

Lời giải

Bài 8: Xem hình 48. Chứng minh QR // ST.

Hướng dẫn: Xét cặp góc so le trong 

Lời giải