50 Bài tập Ôn tập chương 4 (có đáp án năm 2023) - Toán 9

Kiến thức cần nhớ 

1. Hàm số y = ax² $\mathrm{(}\mathrm{a}\mathrm{\ne }\mathrm{0}\mathrm{)}$

a) Tập xác định

Cho hàm số $\mathrm{y}={\mathrm{ax}}^2 \left(\mathrm{a}\ne 0\right)$

Tập xác định của hàm số là .

b) Tính chất

+ Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0 và đồng biến khi x > 0.

+ Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0.

c) Đồ thị hàm số y = ax² $(\mathrm{a}\ne 0)$

Đồ thị của hàm số $\mathrm{y}={\mathrm{ax}}^2 \left(\mathrm{a}\ne 0\right)$ là một đường cong đi qua gốc tọa độ và nhận trục Oy làm trục đối xứng. Đường cong đó được gọi là một parabol đỉnh O (với O là gốc tọa độ).

Tính chất của đồ thị:

+ Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị.

+ Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị.

Các bước vẽ đồ thị hàm số $\mathrm{y}={\mathrm{ax}}^2 \left(\mathrm{a}\ne 0\right)$

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2: Lập bảng giá trị (thường từ 5 đến 7 giá trị) tương ứng giữa x và y.

Bước 3: Vẽ đồ thị và kết luận.

2. Phương trình bậc hai một ẩn

a) Định nghĩa: Phương trình bậc hai một ẩn (nói gọn là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng

${\mathrm{ax}}^2+\mathrm{bx}+\mathrm{c}=0$                

trong đó x là ẩn, a, b, c là những số cho trước gọi là các hệ số và $\mathrm{a}\ne 0$.

b) Biệt thức $∆$

Đối với phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) ta có biệt thức Δ như sau:

Δ = b² - 4ac

Ta sửa dụng biết thức Δ để giải phương trình bậc hai.

c) Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

Đối với phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) và biệt thức Δ = b² - 4ac

+ Nếu Δ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt là

${\mathrm{x}}_1=\frac{-\mathrm{b}+\sqrt{∆}}{2\mathrm{a}}; {\mathrm{x}}_2=\frac{-\mathrm{b}-\sqrt{∆}}{2\mathrm{a}}$

+ Nếu Δ = 0 thì phương trình có nghiệm kép là

${\mathrm{x}}_1={\mathrm{x}}_2=\frac{-\mathrm{b}}{2\mathrm{a}}$

+ Nếu Δ < 0 thì phương trình vô nghiệm.

d) Biệt thức $∆\text{'}$

Đối với phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) và b = 2b’ ta có biệt thức  như sau:

$∆\text{'}$= b’² - ac

Ta sửa dụng biết thức  để giải phương trình bậc hai.

e) Công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai

Đối với phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có b = 2b’ và biệt thức $∆\text{'}$= b’² - ac

+ Nếu  > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt là

${\mathrm{x}}_1=\frac{-\mathrm{b}+\sqrt{∆\text{'}}}{\mathrm{a}}; {\mathrm{x}}_2=\frac{-\mathrm{b}-\sqrt{∆\text{'}}}{\mathrm{a}}$

+ Nếu  = 0 thì phương trình có nghiệm kép là

${\mathrm{x}}_1={\mathrm{x}}_2=\frac{-\mathrm{b}}{\mathrm{a}}$

+ Nếu $∆\text{'}$< 0 thì phương trình vô nghiệm.

3. Hệ thức Vi – ét

a) Hệ thức Vi – ét

Nếu x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì ta có:

$\left\{\begin{array}{l}{\mathrm{x}}_1+{\mathrm{x}}_2=\frac{-\mathrm{b}}{\mathrm{a}}\\ {\mathrm{x}}_1.{\mathrm{x}}_2=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}\end{array}\right.$

b) Ứng dụng của hệ thức Vi - ét

+ Nếu phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x₁ = 1 và nghiệm còn lại là x₂ = $\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}$

+ Nếu phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a - b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x₁ = -1 và nghiệm còn lại là x₂ = -$\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}$

+ Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là nghiệm của phương trình bậc hai x² - Sx + P = 0

+ Điều kiện để có hai số đó là S² - 4P ≥ 0

Bài tập tự luyện 

Bài 1: Cho parabol (P) $\mathrm{y}={\mathrm{x}}^2$ và đường thẳng (d) y = 2x + 3.

a) Vẽ (P) và (d) trên cùng mặt phẳng tọa độ

b) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) bằng phương pháp đại số, so sánh kết quả với giao điểm trên đồ thị.

Lời giải:

a)

+ Vẽ đồ thị (P) $\mathrm{y}={\mathrm{x}}^2$

Bảng giá trị

+ Vẽ đồ thị (d) y = 2x + 3

Cho x = 0$\Rightarrow y=3\Rightarrow$d đi qua điểm (0; 3)

Cho y = 0$\Rightarrow x=\frac{-3}{2}\Rightarrow$d đi qua điểm $\left(\frac{-3}{2};0\right)$

Từ độ thị ta thấy (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A(-1; 1) và B(3; 9)

b) Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là:

$$\begin{gathered} {\mathrm{x}}^2=2\mathrm{x}+3 \\ \iff {\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}-3=0 \\ ∆\text{'}=\mathrm{b}{\text{'}}^2-\mathrm{ac}={\left(-1\right)}^2-1.\left(-3\right)=4 \end{gathered}$$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt

$$\begin{gathered} {\mathrm{x}}_1=\frac{1+\sqrt{4}}{2}=3 \\ {\mathrm{x}}_2=\frac{1-\sqrt{4}}{2}=-1 \end{gathered}$$

Với x = 3$\Rightarrow$y = 9$\Rightarrow$(d) giao (P) tại điểm (3; 9)$\equiv \mathrm{B}$

Với x = -1$\Rightarrow$y = 1$\Rightarrow$(d) giao (P) tại điểm (-1; 1)$\equiv \mathrm{A}$

Từ kết quả trên ta thấy kết quả ở câu a và câu b trùng nhau

Bài 2: Giải các phương trình sau:

a) $2{\mathrm{x}}^2-5\mathrm{x}+1=0$

b) $\frac{1}{3}{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}-\frac{2}{3}=0$

c) $2{\mathrm{x}}^2-2\sqrt{2}\mathrm{x}+1=0$

Lời giải:

a) $2{\mathrm{x}}^2-5\mathrm{x}+1=0$

Ta có: a = 2; b = -5; c = 1

$∆={\left(-5\right)}^2-4.2.1=25-8=17$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt

$$\begin{gathered} {\mathrm{x}}_1=\frac{-\mathrm{b}+\sqrt{∆}}{2\mathrm{a}}=\frac{5+\sqrt{17}}{2.2}=\frac{5+\sqrt{17}}{4} \\ {\mathrm{x}}_2=\frac{-\mathrm{b}-\sqrt{∆}}{2\mathrm{a}}=\frac{5-\sqrt{17}}{2.2}=\frac{5-\sqrt{17}}{4} \end{gathered}$$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $\mathrm{S}=\left\{\frac{5-\sqrt{17}}{4}; \frac{5+\sqrt{17}}{4}\right\}$

b) $\frac{1}{3}{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}-\frac{2}{3}=0$

Ta có: a = $\frac{1}{3}$; b = -2; c = $\frac{-2}{3}$

$∆={\mathrm{b}}^2-4\mathrm{ac}={\left(-2\right)}^2-4.\frac{1}{3}.\left(\frac{-2}{3}\right)=\frac{44}{9}$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt

$$\begin{gathered} {\mathrm{x}}_1=\frac{-\mathrm{b}+\sqrt{∆}}{2\mathrm{a}}=\frac{2+\sqrt{{\displaystyle \frac{44}{9}}}}{2.{\displaystyle \frac{1}{3}}}=3+\sqrt{11}; \\ {\mathrm{x}}_2=\frac{-\mathrm{b}-\sqrt{∆}}{2\mathrm{a}}=\frac{2-\sqrt{{\displaystyle \frac{44}{9}}}}{2.{\displaystyle \frac{1}{3}}}=3-\sqrt{11} \end{gathered}$$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $\mathrm{S}=\left\{3-\sqrt{11}; 3+\sqrt{11}\right\}$.

c) $2{\mathrm{x}}^2-2\sqrt{2}\mathrm{x}+1=0$

Ta có a = 2; $\mathrm{b}=-2\sqrt{2}$; c = 1

$∆\text{'}=\mathrm{b}{\text{'}}^2-\mathrm{ac}={\left(-\sqrt{2}\right)}^2-1.2=0$

Phương trình có nghiệm kép ${\mathrm{x}}_1={\mathrm{x}}_2=\frac{-\mathrm{b}\text{'}}{\mathrm{a}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $\mathrm{S}=\left\{\frac{\sqrt{2}}{2}\right\}$.

Bài 3: Giải các phương trình sau:

a) $\frac{16}{\mathrm{x}-3}+\frac{30}{1-\mathrm{x}}=3$

b) (x +1)³ –x +1 = (x -1)(x -2)

c) x⁴ - 8x² – 9 = 0

Lời giải:

a) Điều kiện: $\mathrm{x}\ne 3; \mathrm{x}\ne 1$

$\frac{16}{\mathrm{x}-3}+\frac{30}{1-\mathrm{x}}=3$

$$\begin{gathered} \iff \frac{16\left(\mathrm{x}-1\right)}{\left(\mathrm{x}-3\right)\left(\mathrm{x}-1\right)}-\frac{30\left(\mathrm{x}-3\right)}{\left(\mathrm{x}-3\right)\left(\mathrm{x}-1\right)}=\frac{3\left(\mathrm{x}-3\right)\left(\mathrm{x}-1\right)}{\left(\mathrm{x}-3\right)\left(\mathrm{x}-1\right)} \\ \iff 16\left(\mathrm{x}-1\right)-30\left(\mathrm{x}-3\right)=3\left(\mathrm{x}-3\right)\left(\mathrm{x}-1\right) \\ \iff 16\mathrm{x}-16-30\mathrm{x}+90=3\left({\mathrm{x}}^2-3\mathrm{x}-\mathrm{x}+3\right) \\ \iff 3{\mathrm{x}}^2-12\mathrm{x}+14\mathrm{x}+9-74=0 \\ \iff 3{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}-65=0 \end{gathered}$$

Δ’ = 1² -3.(-65) = 1 + 195=196 > 0

${\mathrm{x}}_1=\frac{-1+14}{3}=\frac{13}{2}$(thỏa mãn)

${\mathrm{x}}_2=\frac{-1-14}{3}=-5$(thỏa mãn)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $\mathrm{S}=\left\{-5; \frac{13}{3}\right\}$.

b) Ta có: (x + 1)³ – x +1 = (x -1)(x -2)

⇔ x³ + 3x² + 3x + 1 – x + 1 = x² - 2x –x + 2

⇔ x³ + 3x² + 3x + 1 – x + 1 - x² + 2x + x – 2 = 0

⇔ x³ + 2x² + 5x = 0 ⇔ x(x² + 2x + 5) = 0

⇔ x = 0 hoặc x² + 2x + 5 = 0

Giải phương trình x² + 2x + 5 = 0

Δ’ = 1² -1.5 =1 -5 = -4 < 0 ⇒ phương trình vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho tập nghiệm S = {1}

c) x⁴ - 8x² – 9 = 0

Đặt t = x² .Điều kiện t ≥ 0

Ta có: x⁴ - 8x² – 9 =0 ⇔t² - 8t - 9 = 0

Phương trình t² – 8t - 9 = 0 có hệ số a = 1, b = -8, c = -9 nên có dạng a – b + c = 0

 t₁ = -1 (loại) ; t₂ = $\frac{-\left(-9\right)}{1}$ = 9

Ta có: x² = 9 ⇒ x = ±3

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S = {-3; 3}

Bài 4: Cho phương trình: x² – 2(m + 1)x + m² + m – 1 = 0

a) Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm.

b) Trong trường hợp phương trình có nghiệm là x₁, x₂, hãy tính theo m: x₁ + x₂; x₁.x₂; x₁² + x₂²

Lời giải:

a) Ta có: Δ' = [-(m + 1)]² – 1.(m² + m – 1)

= m² + 2m + 1 – m² – m + 1 = m + 2

Phương trình có nghiệm khi Δ' ≥ 0 ⇒ m + 2 ≥ 0 ⇔ m ≥ -2

Vậy với m ≥ -2 thì phương trình đã cho có nghiệm.

b) Giả sử phương trình đã cho có 2 nghiệm x₁ và x₂, theo hệ thức Vi-ét ta có:

x₁ + x₂ = $\frac{-\mathrm{b}}{\mathrm{a}}=\frac{-\left(-2\left(\mathrm{m}+1\right)\right)}{1}=2\left(\mathrm{m}+1\right)$

x₁x₂ = $\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}=\frac{{\mathrm{m}}^2+\mathrm{m}-1}{1}={\mathrm{m}}^2+\mathrm{m}-1$

x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² – 2x₁x₂ = (2m + 2)² – 2(m² + m – 1)

= 4m² + 8m + 4 – 2m² – 2m + 2 = 2m² + 6m + 6.

Bài 5: Một xuồng máy xuôi dòng sông 30km và ngược dòng 28km hết một thời gian bằng thời gian mà xuồng đi 59,5km trên mặt hồ yên lặng. Tính vận tốc của xuồng khi đi trên hồ biết rằng vận tốc của nước chảy trong sông là 3km/h.

Lời giải:

Gọi x (km/h) là vận tốc thuyền khi đi trên hồ. Điều kiện: x > 3

Khi đó vận tốc khi đi xuôi dòng trên sông là x + 3(km/h)

Vận tốc khi đi ngược dòng trên sông là x – 3(km/h)

Thời gian thuyền đi xuôi dòng 30 km là $\frac{30}{\mathrm{x}+3}$(giờ)

Thời gian thuyền đi ngược dòng 28km là $\frac{28}{\mathrm{x}-3}$(giờ)

Thời gian thuyền đi trên hồ yên lặng 59,5km là $\frac{59,5}{\mathrm{x}}$(giờ)

Vì thời gian đi xuôi dòng 30 và thời gian đi ngược dòng 28km bằng thời gian đi 59,5km khi nước đứng yên nên ta có phương trình, ta có phương trình:

$$\begin{gathered} \frac{30}{\mathrm{x}+3}+\frac{28}{\mathrm{x}-3}=\frac{59,5}{\mathrm{x}} \\ \iff \frac{30}{\mathrm{x}+3}+\frac{28}{\mathrm{x}-3}=\frac{119}{2\mathrm{x}} \\ \iff \frac{2.30\mathrm{x}\left(\mathrm{x}-3\right)}{2\mathrm{x}\left(\mathrm{x}-3\right)\left(\mathrm{x}+3\right)}+\frac{2.28.\mathrm{x}\left(\mathrm{x}+3\right)}{2\mathrm{x}\left(\mathrm{x}-3\right)\left(\mathrm{x}+3\right)}=\frac{119.\left(\mathrm{x}-3\right)\left(\mathrm{x}+3\right)}{2\mathrm{x}\left(\mathrm{x}-3\right)\left(\mathrm{x}+3\right)} \\ \Rightarrow 60\mathrm{x}\left(\mathrm{x}-3\right)+56\mathrm{x}\left(\mathrm{x}+3\right)=119.\left(\mathrm{x}-3\right)\left(\mathrm{x}+3\right) \\ \iff 60{\mathrm{x}}^2-180\mathrm{x}+56{\mathrm{x}}^2+158\mathrm{x}=119{\mathrm{x}}^2-1071 \\ \iff 3{\mathrm{x}}^2+12\mathrm{x}-1071=0 \\ \iff {\mathrm{x}}^2+4\mathrm{x}-257=0 \\ ∆\text{'}=2^2-1.\left(-357\right)=4+357=361>0 \end{gathered}$$

${\mathrm{x}}_1=\frac{-2+\sqrt{361}}{1}=17$(thỏa mãn)

${\mathrm{x}}_2=\frac{-2-\sqrt{361}}{1}=-21$ (không thỏa mãn)

Vậy vận tốc khi thuyền đi trên mặt hồ yên lặng là 17km/h.

Bài 6: Hai đội công nhân cùng làm một quãng đường thì 12 ngày xong việc. Nếu đội thứ nhất làm một mình hết nửa công việc, rồi đội thứ hai tiếp tục một mình làm nốt phần việc còn lại thì hết tất cả 25 ngày. Hỏi mỗi đội làm một mình thì bao lâu xong công việc?

Lời giải:

Gọi thời gian đội thứ nhất làm một mình xong nửa công việc là x (ngày)(6 < x < 25).

Khi đó thời gian làm riêng xong nửa công việc của đội thứ hai là 25 – x (ngày)

Trong 1 ngày, đội thứ nhất làm được $\frac{1}{2\mathrm{x}}$(công việc)

Trong một ngày đội thứ hai làm được $\frac{1}{2\left(25-\mathrm{x}\right)}$(công việc).

Mà cả hai đội cùng làm thì 12 ngày xong nên 1 ngày hai đội làm được $\frac{1}{12}$(công việc)

Ta có phương trình:

$$\begin{gathered} \frac{1}{2\mathrm{x}}+\frac{1}{2\left(25-\mathrm{x}\right)}=\frac{1}{12} \\ \iff \frac{6.\left(25-\mathrm{x}\right)}{12.\mathrm{x}.\left(25-\mathrm{x}\right)}+\frac{6.\mathrm{x}}{12.\mathrm{x}.\left(25-\mathrm{x}\right)}=\frac{\mathrm{x}\left(25-\mathrm{x}\right)}{12.\mathrm{x}.\left(25-\mathrm{x}\right)} \\ \Rightarrow 6.\left(25-\mathrm{x}\right)+6\mathrm{x}=\mathrm{x}\left(25-\mathrm{x}\right) \\ \iff 150-6\mathrm{x}+6\mathrm{x}=25\mathrm{x}-{\mathrm{x}}^2 \\ \iff {\mathrm{x}}^2-25\mathrm{x}+150=0 \left(*\right) \\ ∆={\left(-25\right)}^2-4.1.150=25 \end{gathered}$$

Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt:

${\mathrm{x}}_1=\frac{25+\sqrt{25}}{2}=15$(thỏa mãn);

${\mathrm{x}}_2=\frac{25-\sqrt{25}}{2}=10$(thỏa mãn)

Vậy đội thứ nhất làm 30 ngày xong công việc hoặc đội thứ nhất làm 20 ngày xong công việc.

Vậy:

+ Nếu đội thứ nhất làm một mình trong 30 ngày xong công việc thì đội thứ hai làm một mình trong 20 ngày xong công việc.

+ Nếu đội thứ nhất làm một mình trong 20 ngày xong công việc thì đội thứ hai làm một mình trong 30 ngày xong công việc.