50 Bài tập Góc ở tâm. Số đo cung (có đáp án năm 2023) - Toán 9

Kiến thức cần nhớ 

1. Góc ở tâm

Góc ở tâm là góc có đỉnh trùng với tâm của đường tròn.

• Hai cạnh của góc ở tâm cắt đường tròn tại hai điểm, do đó chia đường tròn thành hai cung.

+ Cung nhỏ: cung nằm bên trong góc (với góc α (0 < α < 180°)).

+ Cung lớn: Cung nằm bên ngoài góc.

• Cung AB được kí hiệu là $\stackrel{⏜}{AB}$. Để phân biệt hai cung có chung các mút là A và B như hình vẽ (0 < α < 180°), ta kí hiệu: $\stackrel{⏜}{AmB}, \stackrel{⏜}{AnB}$

    Trong đó: $\stackrel{⏜}{AnB}$ là cung nhỏ, $\stackrel{⏜}{AmB}$ là cung lớn.

    Với α = 180° thì mỗi cung là một nửa đường tròn.

• Cung nằm bên trong góc gọi là cung bị chắn.

Khi đó, $\stackrel{⏜}{AnB}$ là cung bị chắn bởi góc AOB hay góc AOB chắn cung nhỏ $\stackrel{⏜}{AnB}$.

2. Số đo cung

• Số đo của cung nhỏ bằng số đo góc ở tâm chắn cung đó.

• Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa 360° và số đo cung nhỏ (có chung hai mút với cung lớn).

• Số đo của nửa đường tròn bằng 180°.

Số đo của cung AB được kí hiệu là sđ $\stackrel{⏜}{AB}$.

Ví dụ 1. Cho góc α = 80° là góc ở tâm O như hình vẽ. Tính số đo cung lớn.

Lời giải:

- Chú ý:

+ Cung nhỏ có số đo nhỏ hơn 180°.

+ Cung lớn có số đo lớn hơn 180°.

+ Khi hai mút của cung trùng nhau, ta có “cung không” với số đo là 0° và cung cả đường tròn có số đo là 360°.

3. So sánh hai cung

•  Hai cung được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng số đo bằng nhau.

•  Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn được gọi là cung lớn hơn.

Ví dụ 2. Cho đường tròn (O) như hình vẽ.

Ta thấy hai cung $\stackrel{⏜}{AmB}$ và $\stackrel{⏜}{CnD}$ có số đo bằng nhau và đều bằng 60^o.

Khi đó, hai cung $\stackrel{⏜}{AmB}$ và $\stackrel{⏜}{CnD}$ bằng nhau.

- Kí hiệu: Hai cung AB và CD bằng nhau được kí hiệu là $\stackrel{⏜}{AB}=\stackrel{⏜}{CD}$.

Ví dụ 3. Cho đường tròn (I) như hình vẽ.

Ta thấy hai cung $\stackrel{⏜}{EmF}$ và $\stackrel{⏜}{GnH}$ có số đo nhỏ hơn (45^o < 75^o).

Khi đó, $\stackrel{⏜}{EmF}$ nhỏ hơn $\stackrel{⏜}{GnH}$.

- Kí hiệu: Cung EF nhỏ hơn cung GH được kí hiệu là $\stackrel{⏜}{EF}>\stackrel{⏜}{GH}$.

Ta có thể gọi cung GH lớn hơn cung EF và kí hiệu là $\stackrel{⏜}{GH}<\stackrel{⏜}{EF}$.

4. Khi nào  ?

Định lí: Nếu C là một điểm nằm trên cung AB thì 

Ví dụ 4. Điểm C nằm trên cung nhỏ AB như hình vẽ.

Chứng minh: 

Lời giải:

Ta có điểm C nằm trên cung nhỏ AB.

Khi đó, điểm C chia cung nhỏ AB thành hai cung nhỏ AC và BC.

Bài tập tự luyện 

Bài 1: Kim giờ và kim phút của đồng hồ tạo thành một góc ở tâm có số đo là bao nhiêu độ vào những thời điểm sau:

a) 3 giờ;     b) 5 giờ;     c) 6 giờ;

d) 12 giờ;     e) 20 giờ?

Lời giải

Trên mặt đồng hồ người ta chia thành 12 phần bằng nhau. Góc ở tâm tạo bởi hai kim giữa hai số liền nhau là:

360^o : 12 = 30^o

a) Thời điểm 3 giờ (hình a) thì góc ở tâm có số đo là: 3.30^o = 90^o

b) Thời điểm 5 giờ (hình b) thì góc ở tâm có số đo là: 5. 30^o = 150^o

c) Thời điểm 6 giờ (hình c) thì góc ở tâm có số đo là: 6.30^o = 180^o

d) Thời điểm 12 giờ (hình d) thì góc ở tâm có số đo là: 0^o

e) Thời điểm 20 giờ (hình e) thì góc ở tâm có số đo là: 4.30^o= 120^o

Bài 2: Cho hai đường thẳng xy và st cắt nhau tại O, trong các góc tạo thành có góc 40^o. Vẽ một đường tròn tâm O. Tính số đo của các góc ở tâm xác định bởi hai trong bốn tia gốc O.

Lời giải

Xét đường tròn (O)

Ta có: $\widehat{xOs}=\widehat{tOy}={40}^o$ (hai góc đối đỉnh)

Lại có: $\widehat{xOs}+\widehat{xOt}={180}^o$ (hai góc kề bù)

$\Rightarrow \widehat{xOt}={180}^o-\widehat{xOs}={180}^o-{40}^o={140}^o$

Mà: $\widehat{sOy}=\widehat{xOt}={140}^o$ (hai góc đối đỉnh)

Vậy: $\widehat{xOt}=\widehat{sOy}={140}^o$; $\widehat{xOs}=\widehat{tOy}={40}^o$

Và $\widehat{xOy}=\widehat{sOt}={180}^o$.

Bài 3: Trên các hình 5, 6 hãy dùng dụng cụ đo góc để tìm số đo cung AmB.

Từ đó, tính số đo cung AnB tương ứng.

Lời giải

Bài 4: Xem hình 7. Tính số đo của góc ở tâm AOB và số đo cung lớn AB.

Lời giải

Bài 5: Hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A và B cắt nhau tại M. Biết góc AMB = 35^o.

a) Tính số đo của góc ở tâm tạo bởi bán kính OA, OB.

b) Tính số đo mỗi cung AB (cung lớn và cung nhỏ).

Lời giải

a) Góc ở tâm tạo bởi OA và OB là 

Tứ giác OAMB có:

Bài 6: Cho tam giác đều ABC. Gọi O là tâm của đường tròn đi qua đỉnh A, B, C.

a) Tính số đo các góc ở tâm tạo bởi hai trong ba bán kính OA, OB, OC.

b) Tính số đo các cung tạo bởi hai trong ba điểm A, B, C.

Lời giải

a) Vì tam giác ABC là tam giác đều nên 

O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên O là giao điểm 3 đường trung trực 3 cạnh- đồng thời O là giao điểm 3 đường phân giác của tam giác ABC

b)

Suy ra,số đo các cung lớn AB, AC và BC là: 360⁰ - 120⁰ = 240⁰

Bài 7: Cho hai đường tròn cùng tâm O với bán kính khác nhau. Hai đường thẳng đi qua O cắt hai đường tròn đó tại các điểm A, B, C, D, M, N, P, Q (h.8).

a) Em có nhận xét gì về số đo của các cung nhỏ AM, CP, BN, DQ?

b) Hãy nêu tên các cung nhỏ bằng nhau.

c) Hãy nêu tên hai cung lớn bằng nhau.

Lời giải

a)

Xét các cung nhỏ AM, CP, BN, DQ

Ta có:

sđ $\stackrel{⏜}{AM}=\widehat{AOM}=\widehat{BON}$

sđ $\stackrel{⏜}{BN}=\widehat{BON}$

sđ $\stackrel{⏜}{QD}=\widehat{QOD}=\widehat{POC}$

sđ $\stackrel{⏜}{PC}=\widehat{POC}$

Mà $\widehat{POC}=\widehat{BON}$ (hai góc đối đỉnh)

$\Rightarrow$ sđ $\stackrel{⏜}{AM}$ = sđ $\stackrel{⏜}{BN}$ = sđ $\stackrel{⏜}{QD}$ = sđ $\stackrel{⏜}{PC}$

b)

Xét đường tròn (O; OB)

Ta có:

$\widehat{BON}=\widehat{POC}$ (hai góc đối đỉnh)

Do đó, số đo của cung nhỏ BN bằng số đo của cung nhỏ PC

Hay cung nhỏ BN bằng cung nhỏ PC

$\widehat{BOP}=\widehat{NOC}$

Do đó, số đo của cung nhỏ BP bằng số đo của cung nhỏ NC

Hay cung nhỏ BP bằng cung nhỏ NC

Xét đường tròn (O; OA)

Ta có:

$\widehat{AOM}=\widehat{QOD}$ (hai góc đối đỉnh)

Do đó, số đo cung nhỏ AM bằng số đo cung nhỏ QD

Hay cung nhỏ AM bằng cung nhỏ QD

$\widehat{AOQ}=\widehat{MOD}$ (hai góc đối đỉnh)

Do đó, số đo cung nhỏ AQ bằng số đo cung nhỏ MD

Hay cung nhỏ AQ bằng cung nhỏ MD

c)

Xét đường tròn (O; OB)

Ta có:

Cung nhỏ BP bằng cung nhỏ NC

Do đó, cung lớn BP bằng cung lớn NC

Cung nhỏ BN bằng cung nhỏ PC

Do đó, cung lớn BN bằng cung lớn PC

Xét đường tròn (O; OA)

Ta có:

Cung nhỏ AM bằng cung nhỏ QD

Do đó, cung lớn AM bằng cung lớn QD

Cung nhỏ AQ bằng cung nhỏ MD

Do đó, cung lớn AQ bằng cung lớn MD.

* Chú ý phân biệt: so sánh hai cung và số đo hai cung.

So sánh hai cung trong trường hợp hai cung trong một đường tròn hoặc trong hai đường tròn có bán kính bằng nhau.

Còn so sánh số đo hai cung : ta luôn so sánh được.

Bài 8: Mỗi khẳng định sau đây đúng hay sai? Vì sao?

a) Hai cung bằng nhau thì số đo bằng nhau.

b) Hai cung có số đo bằng nhau thì bằng nhau.

c) Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn là cung lớn.

d) Trong hai cung trên một đường tròn, cung nào có số đo nhỏ hơn thì nhỏ hơn.

Lời giải

a) Đúng. Dựa vào cách so sánh hai cung (SGK trang 68).

Chú ý: Khi ta nói hai cung bằng nhau, nghĩa là hai cung này so sánh được (tức chúng cùng nằm trong một đường tròn hoặc trong hai đường tròn bằng nhau). Do đó, theo cách so sánh hai cung đã biết thì hai cung bằng nhau thì số đo bằng nhau.

b) Sai. Nếu hai cung này nằm trong hai đường tròn có bán kính khác nhau thì ta không thể so sánh hai cung.

c) Sai. (Lí luận như câu b)

d) Đúng. (Lí luận như câu a)

Bài 9: Trên đường tròn tâm O lấy ba điểm A, B, C sao cho  . Tính số đo của cung nhỏ BC và cung lớn BC. (Xét cả hai trường hợp: điểm C nằm trên cung nhỏ AB, điểm C nằm trên cung lớn AB).

Lời giải

* Trường hợp 1 . Điểm C nằm trên cung lớn AB.

Do điểm C nằm trên cung lớn AB nên tia OA nằm giữa hai tia OB và OC.

Do  nên tia OA nằm giữa hai tia OB và OC hay A nằm trên cung BC.

Suy ra:  = 100⁰+ 45⁰ = 145⁰

Khi đó, số đo cung nhỏ BC là 145⁰ ( bằng góc ở tâm  )

Số đo cung lớn BC là: 360⁰ - 145⁰ = 215⁰

* Trường hợp 2: Điểm C nằm trên cung nhỏ AB

Vì điểm C nằm trên cung nhỏ AB nên OC nằm giữa OA và OB

Ta có:  = 100⁰- 45⁰ = 55⁰

Khi đó, số đo cung nhỏ BC là 55⁰

Số đo cung lớn BC là: 360⁰- 55⁰ = 305⁰