50 Bài tập Góc nội tiếp (có đáp án năm 2023) - Toán 9

Kiến thức cần nhớ 

1. Định nghĩa

- Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó.

- Cung bị chắn là cung nằm bên trong góc.

Ví dụ 1. Cho đường tròn (O) và hai dây cung AB, AC.

Khi đó, $\widehat{BAC}$ là góc nội tiếp và cung bị chắn là cung nhỏ BC.

2. Định lí

Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.

Ví dụ 2. Cho đường tròn (O) có $\widehat{BAC}$ là góc nội tiếp chắn cung nhỏ BC (như hình 1) và chắn cung lớn BC (như hình 2).

3. Hệ quả

Trong một đường tròn:

- Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau.

- Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.

- Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng 90°) có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung.

- Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.

Ví dụ 3. Cho đường tròn (O) và $\widehat{BAC}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O) (như hình vẽ).

Bài tập tự luyện 

Bài 1: Các khẳng định sau đây đúng hay sai?

a) Trong một đường tròn, các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.

b) Trong một đường tròn, các góc nội tiếp bằng nhau thì cùng chắn một cung.

Lời giải

a) Đúng (theo hệ quả b).

b) Sai. Vì trong cùng một đường tròn, các góc nội tiếp cùng chắn 1 cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.

Trong một đường tròn, các góc nội tiếp bằng nhau chưa chắc cùng chắn một cung.

Bài 2: Xem hình 19 (hai đường tròn có tâm là B, C và điểm B nằm trên đường tròn tâm C).

Lời giải

a) Đường tròn tâm B có  là góc nội tiếp chắn cung  là góc ở tâm chắn cung 

Đường tròn tâm C có  là góc nội tiếp chắn cung  là góc ở tâm chắn cung 

Bài 3: Muốn xác định tâm của một đường tròn mà chỉ dùng êke thì phải làm như thế nào?

Lời giải

Áp dụng hệ quả: Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.

Cách xác định:

+ Đặt đỉnh vuông của eke trùng với một điểm N bất kỳ trên đường tròn, kẻ đường thẳng đi qua cạnh huyền của êke cắt đường tròn tại A và B ta được đường kính AB.

+ Vẫn đặt đỉnh vuông của eke tại N, xoay eke theo hướng khác, kẻ đường thẳng đi qua cạnh huyền của êke cắt đường tròn tại C và D ta được đường kính CD.

+ CD cắt AB tại tâm O của đường tròn.

Bài 4: Một huấn luyện viên cho cầu thủ tập sút bóng vào cầu môn PQ. Bóng được đặt ở các vị trí A, B, C trên một cung tròn như hình 20.

Hãy so sánh các góc 

Lời giải

Các điểm A, B, C, Q, P cùng thuộc một đường tròn.

Các góc  đều là các góc nội tiếp cùng chắn cung 

Bài 5: Cho đường tròn tâm O, đường kính AB và S là một điểm nằm bên ngoài đường tròn. SA và SB lần lượt cắt đường tròn tại M, N. Gọi H là giao điểm của BM và AN. Chứng minh rằng SH vuông góc với AB.

Lời giải

 là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ⇒  ⇒ AN ⊥ NB

 là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ⇒  ⇒ AM ⊥ MB

ΔSHB có: SM ⊥ HB, NH ⊥ SB và SM; HN cắt nhau tại A.

⇒ A là trực tâm của ΔSHB.

⇒ AB ⊥ SH (đpcm)

Bài 6: Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Vẽ các đường kính AC và AD của hai đường tròn. Chứng minh rằng ba điểm C, B, D thẳng hàng.

Lời giải

Trong đường tròn tâm O,  là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

Trong đường tròn tâm O’,  là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

Suy ra, ba điểm C, B và D thẳng hàng.

Bài 7: Cho hai đường tròn bằng nhau (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Vẽ đường thẳng qua A cắt (O) tại M và cắt (O') tại N (A nằm giữa M và N). Hỏi MBN là tam giác gì? Tại sao?

Lời giải

+ (O) và (O’) là hai đường tròn bằng nhau

 cùng được căng bởi dây AB

+ (O) có  là góc nội tiếp chắn cung 

+ (O’) có  là góc nội tiếp chắn cung 

Từ (1); (2); và (3) suy ra 

⇒ ΔBMN cân tại B.

Bài 8: Trên đường tròn (O) đường kính AB, lấy điểm M (khác A và B). Vẽ tiếp tuyến của (O) tại A. Đường thẳng BM cắt tiếp tuyến đó tại C. Chứng minh rằng ta luôn có:

MA² = MB . MC

Lời giải

 là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

AC là tiếp tuyến của đường tròn tại A

⇒ AC ⊥ AO

⇒ ΔABC vuông tại A có đường cao AM

⇒ AM² = MB.MC (Hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông).