50 Bài tập Cung chứa góc (có đáp án năm 2023) - Toán 9

Kiến thức cần nhớ 

1. Quỹ tích cung chứa góc

Với đoạn thẳng AB và góc α (0 < α < 180°) cho trước thì quỹ tích các điểm M thoả mãn $\widehat{AMB}=\alpha$ là hai cung chứa góc α dựng trên đoạn AB.

Lưu ý:

- Hai cung chứa góc α nói trên là hai cung tròn đối xứng nhau qua AB.

- Hai điểm A, B được coi là thuộc quỹ tích.

- Quỹ tích các điểm M nhìn đoạn thẳng AB cho trước dưới một góc vuông là đường tròn đường kính AB.

2. Cách vẽ cung chứa góc α

– Vẽ đường trung trực d của đoạn thẳng AB.

– Vẽ tia Ax sao cho $\widehat{BAx}=\alpha$.

– Vẽ đường thẳng Ay vuông góc với Ax. Gọi O là giao điểm của Ay với d.

– Vẽ cung AmB, tâm O, bán kính OA sao cho cung này nằm ở nửa mặt phẳng bờ AB không chứa tia Ax.

- $\stackrel{⏜}{AmB}$  được vẽ như trên là một cung chứa góc α.

Ta có hình vẽ:

3. Cách giải bài toán quỹ tích

Muốn chứng minh quỹ tích (tập hợp) các điểm M thoả mãn tính chất T là một hình H nào đó, ta phải chứng minh hai phần:

– Phần thuận: Mọi điểm có tính chất T đều thuộc hình H.

– Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình H đều có tính chất T.

– Kết luận: Quỹ tích các điểm M có tính chất T là hình H.

Ví dụ. Cho góc xOy cố định và điểm A cố định nằm trên tia Ox. B là điểm chuyển động trên tia Oy. Tìm tập hợp trung điểm M của AB.

Lời giải:

- Phần thuận:

+ Xét tam giác vuông OAB có OM = MA = MB

Nên ∆OAM cân tại M.

Mà OA cố định suy ra M nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng OA.

- Phần đảo:

Lấy M bất kỳ thuộc tia M₁z, AM cắt Oy tại B.

Suy ra MO = MA $\Rightarrow \widehat{MAO}=\widehat{MOA}$.

Mặt khác $\widehat{OBM}=\widehat{BOM}$ (cùng phụ với góc $\widehat{MAO}=\widehat{MOA}$) suy ra MO = MB.

Suy ra MO = MA = MB.

Hay M là trung điểm của AB.

- Kết luận: Tập hợp các trung điểm M của AB là đường trung trực của đoạn OA.

Bài tập tự luyện 

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông ở A, có cạnh BC cố định. Gọi I là giao điểm của ba đường phân giác trong. Tìm quỹ tích điểm I khi A thay đổi.

Lời giải

* Dự đoán : Quỹ tích điểm I là cung chứa góc 135º dựng trên đoạn BC.

* Chứng minh :

Phần thuận : Chứng minh mọi điểm I thỏa mãn điều kiện trên đều thuộc cung chứa góc 135º dựng trên đoạn BC.

⇒ I thuộc cung chứa góc 135º dựng trên đoạn thẳng BC.

Phần đảo: Chứng minh mọi điểm I thuộc cung chứa góc 135º dựng trên đoạn BC, đều có tam giác ABC thỏa mãn điều kiện.

+ Lấy I trên cung chứa góc 135º dựng trên đoạn BC

+ Kẻ tia Bx sao cho BI là phân giác của 

+ Kẻ tia Cy sao cho CI là phân giác của 

+ Bx cắt Cy tại A.

Khi đó I là giao điểm của hai đường phân giác trong tam giác ABC

Vậy ΔABC vuông tại A thỏa mãn đề bài.

Kết luận : Quỹ tích điểm I là toàn bộ cung chứa góc 135º dựng trên đoạn BC (khác B và C).

Bài 2: Cho các hình thoi ABCD có cạnh AB cố định. TÌm quỹ tích giao điểm O của hai đường chéo của các hình thoi đó.

Lời giải

Dự đoán: Quỹ tích cần tìm là nửa đường tròn đường kính AB.

Chứng minh phần thuận:

ABCD là hình thoi

⇒ AC ⊥ BD ( hình thoi có 2 đường chéo vuông góc với nhau)

⇒ 

Vậy quỹ tích của O là nửa đường tròn đường kính AB.

Chứng minh phần đảo: Chứng minh với mọi điểm O thuộc nửa đường tròn đường kính AB ta đều có hình thoi ABCD thỏa mãn đề bài.

+ Lấy điểm O thuộc nửa đường tròn đường kính AB

+ Lấy C đối xứng với A qua O

+ Lấy D đối xứng với B qua O.

Tứ giác ABCD có AC cắt BD tại O là trung điểm mỗi đường

⇒ ABCD là hình bình hành.

Mà O thuộc nửa đường tròn đường kính AB

⇒ 

⇒ AC ⊥ DB

⇒ Hình bình hành ABCD là hình thoi.

Kết luận: Quỹ tích điểm O là nửa đường tròn đường kính AB (khác A và B)

Bài 3: Dựng một cung chứa góc 55^o trên đoạn thẳng AB = 3cm.

Lời giải

Cách dựng:

+ Dựng đoạn thẳng AB = 3cm.

+ Dựng góc 

+ Dựng tia Ay vuông góc với tia Ax.

+ Dựng đường trung trực d của đoạn thẳng AB.

+ d cắt Ay tại O.

+ Dựng đường tròn tâm O, bán kính OA.

 là cung chứa góc 55º cần dựng.

Chứng minh:

+ O thuộc đường trung trực của AB

⇒ OA = OB

⇒ B thuộc đường tròn (O; OA).

Ax ⊥ AO ⇒ Ax là tiếp tuyến của (O; OA).

⇒  là góc tạo bởi tiếp tuyến Ax và dây AB

Lấy M ∈  là góc nội tiếp chắn cung nhỏ 

⇒  là cung chứa góc 55º dựng trên đoạn AB = 3cm.

Kết luận: Bài toán có một nghiệm hình.

Bài 4: Gọi cung chứa góc 55^o ở bài tập 46 là cung AmB. Lấy điểm M₁ nằm bên trong và điểm M₂ nằm bên ngoài đường tròn chứa cung này sao cho M₁, M₂ và cung AmB nằm cùng một phía đối với đường thẳng AB. Chứng minh rằng:

a) $\widehat{A{M}_{1}B}>{55}^o$;

b) $\widehat{A{M}_{2}B}<{55}^o$.

Lời giải

a)

Điểm M₁ nằm bên trong cung chứa góc 55°.

Gọi A’, B’ lần lượt là giao điểm của AM₁ và BM₁ với cung tròn AmB.

Ta có: Góc AA’B là góc nội tiếp chắn cung nhỏ AB và cung AmB là cung chứa góc 55° nên $\frac{1}{2}$sđ$\stackrel{⏜}{AB}=\widehat{AA\text{'}B}={55}^o$

Vì $\widehat{A{M}_{1}B}$ là góc có đỉnh nằm trong đường tròn nên:

$\widehat{A{M}_{1}B}=\frac{1}{2}$(sđ $\stackrel{⏜}{AB}$ + sđ $\stackrel{⏜}{A\text{'}B\text{'}}$) $>\frac{1}{2}$sđ $\stackrel{⏜}{AB}={55}^o$

Vậy $\widehat{A{M}_{1}B}>{55}^o$.

b)

Điểm M₂ là điểm bất kì nằm ngoài đường tròn

Ta có M₂A, M₂B lần lượt cắt đường tròn tại A’, B’.

Ta có: Góc AA’B là góc nội tiếp chắn cung nhỏ AB và cung AmB là cung chứa góc 55° nên $\frac{1}{2}$sđ$\stackrel{⏜}{AB}=\widehat{AA\text{'}B}={55}^o$

Vì $\widehat{A{M}_{2}B}$ là góc có đỉnh nằm bên ngoài đường tròn chắn cung A’B’ và AB nên ta có:

$\widehat{A{M}_{2}B}=\frac{1}{2}$ (sđ $\stackrel{⏜}{AB}$ - sđ $\stackrel{⏜}{A\text{'}B\text{'}}$) = $\frac{1}{2}$sđ $\stackrel{⏜}{AB}$ - $\frac{1}{2}$sđ $\stackrel{⏜}{A\text{'}B\text{'}}$ < $\frac{1}{2}$sđ $\stackrel{⏜}{AB}$ = 55⁰

Vậy $\widehat{A{M}_{2}B}<{55}^o$.

Bài 5: Cho hai điểm A, B cố định. Từ A vẽ các tiếp tuyến với các đường tròn tâm B có bán kính không lớn hơn AB. Tìm quỹ tích các tiếp điểm.

Lời giải

Dự đoán: Quỹ tích là đường tròn đường kính AB.

Chứng minh:

+ Phần thuận:

AT là tiếp tuyến của đường tròn tâm B

⇒ AT ⊥ BT

⇒ 

⇒ T thuộc đường tròn đường kính AB.

+ Phần đảo:

Lấy T thuộc đường tròn đường kính AB

⇒ 

⇒ AT ⊥ TB và BT < AB

⇒ AT tiếp xúc với đường tròn tâm B, bán kính BT < BA.

Kết luận: Quỹ tích các tiếp điểm là đường tròn đường kính AB.

Bài 6: Dựng tam giác ABC, biết BC = 6cm, góc A = 40^o và đường cao AH = 4cm.

Lời giải

Cách dựng:

+ Dựng đoạn thẳng BC = 6cm.

+ Dựng cung chứa góc 40º trên đoạn thẳng BC (tương tự bài 46) :

Dựng tia Bx sao cho 

Dựng tia By ⊥ Bx.

Dựng đường trung trực của BC cắt By tại O.

Dựng đường tròn (O; OB).

Cung lớn BC chính là cung chứa góc 40º dựng trên đoạn BC.

+ Dựng đường thẳng d song song với BC và cách BC một đoạn 4cm:

Lấy D là trung điểm BC.

Trên đường trung trực của BC lấy D’ sao cho DD’ = 4cm.

Dựng đường thẳng d đi qua D’ và vuông góc với DD’.

+ Đường thẳng d cắt cung lớn BC tại A.

Ta được ΔABC cần dựng.

Chứng minh:

+ Theo cách dựng có BC = 6cm.

+ A ∈ cung chứa góc 40º dựng trên đoạn BC

+ A ∈ d song song với BC và cách BC 4cm

⇒ AH = DD’ = 4cm.

Vậy ΔABC thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Biện luận: Do d cắt cung lớn BC tại hai điểm nên bài toán có hai nghiệm hình.

Bài 7: Cho đường tròn đường kính AB cố định, M là một điểm chạy trên đường tròn. Trên tia đối của tia MA lấy điểm I sao cho MI = 2MB.

Lời giải

a)

Điểm M là điểm nằm trên đường tròn đường kính AB

$\Rightarrow \widehat{AMB}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

$\Rightarrow \widehat{AMB}={90}^o$

$\Rightarrow MB\perp MA$ tại M

$\Rightarrow \widehat{IMB}={90}^o$

Do đó, tam giác IMB vuông tại I

Xét tam giác IMB vuông tại I

Có: $\tan \widehat{MIB}=\frac{MB}{MI}=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow \widehat{MIB}\approx {26}^{o}34\text{'}$

Vậy góc $\widehat{AIB}$ không đổi và luôn bằng 26⁰34'.

b)

Phần thuận:

Khi điểm M thay đổi trên đường tròn đường kính AB thì điểm I thay đổi và luôn nhìn cạnh AB dưới một góc $\widehat{AIB}={26}^{o}34\text{'}$

Vậy điểm I thuộc hai cung chứa góc 26⁰34' dựng trên đoạn AB.

Nhưng tiếp tuyến PQ với đường tròn đường kính AB tại A là vị trí giới hạn của AM. Do đó điểm I thuộc hai cung PmB, Qm′B.

Hai điểm P, Q là các điểm giới hạn của quỹ tích, điểm B là điểm đặc biệt của quỹ tích.

Phần đảo:

Lấy điểm I′ bất kỳ thuộc cung Qm′B (hoặc cung PmB). Nối AI′ cắt đường tròn đường kính AB tại M′. Ta chứng minh M′I′ = 2M′B.

Xét đường tròn đường kính AB có $\widehat{A{M}^{\text{'}}B}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên $\widehat{A{M}^{\text{'}}B}=90°$ ⇒ AM′ ⊥ BM′ .

Xét tam giác BM′I′ vuông ở M′ có $\widehat{B{I}^{\text{'}}{M}^{\text{'}}}=$26⁰34'  (do I′ bất kỳ thuộc cung Qm′B là cung chứa góc 26⁰34' dựng trên đoạn AB) nên $\tan \widehat{B{I}^{\text{'}}{M}^{\text{'}}}=\tan {26}^{o}34\text{'}=\frac{1}{2}$

Mà $\tan \widehat{B{I}^{\text{'}}{M}^{\text{'}}}=\frac{B{M}^{\text{'}}}{M^{\text{'}}{I}^{\text{'}}}\Rightarrow \frac{B{M}^{\text{'}}}{M^{\text{'}}{I}^{\text{'}}}=\frac{1}{2}$

 ⇒ M′I′ = 2BM′

Kết luận: Quỹ tích các điểm I là hai cung PmB, Qm′B.

Bài 8: Cho I, O lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với $\widehat{A}={60}^o$. Gọi H là giao điểm của các đường cao BB' và CC'. Chứng minh các điểm B, C, O, H, I cùng thuộc một đường tròn.

Lời giải

⇒ B, O, I, H, C cùng thuộc đường tròn chứa cung 120º dựng trên đoạn BC.

Bài 9: "Góc sút" của quả phạt đền 11 mét là bao nhiêu độ? Biết rằng chiều rộng cầu môn là 7,32m. Hãy chỉ ra hai vị trí khác trên sân có cùng "góc sút" như quả phạt đền 11 mét.

Lời giải

Dựng tam giác PMQ cân tại M.

Gọi chiều rộng cầu môn là PQ: PQ = 7,32m

Gọi H là trung điểm của PQ $\Rightarrow PH=\frac{1}{2}PQ=\frac{1}{2}.7,32=3,66$ (m)

Lấy điểm M là điểm nằm trên đường trung trực của PQ sao cho MH = 11m

Do đó, M là vị trí đặt bóng cho quả sút phạt đền 11m

Xét tam giác PMQ cân tại M

MH là đường trung tuyến và cũng là đường cao

Do đó, tam giác MHP vuông tại H

Xét tam giác MHP vuông tại H có:

$\tan \widehat{PMH}=\frac{PH}{MH}=\frac{3,66}{11}\approx 0,333$

$\Rightarrow \widehat{PMH}={18}^{o}25\text{'}$

Xét tam giác PMQ cân tại M

MH là đường trung tuyến và cũng là đường phân giác.

Vậy góc sút phạt đền là: $\widehat{PMQ}=2.\widehat{PMH}={36}^{o}50\text{'}$

Vẽ cung chứa góc 36°50' dựng trên đoạn PQ. Bất cứ điểm nào trên cung vừa vẽ cũng có "góc sút" như góc sút của quả phạt đền 11 mét.