50 Bài tập Các khái niệm về hàm số (có đáp án năm 2023) - Toán 9

Kiến thức cần nhớ 

1. Khái niệm hàm số

• Nếu đại lượng y phụ thuộc vào một đại lượng x thay đổi sao cho mỗi giá trị của x, ta luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm số của x và x gọi là biến số

• Hàm số có thể được cho bằng bảng hoặc bằng công thức, ...

Ví dụ 1.

+) y là hàm số của x được cho dưới dạng bảng:

+) y là hàm số của x được cho dưới dạng công thức: $y=\frac{1}{2}x$; y = x + 2; y = 5x.

• Hàm số thường được ký hiệu bởi những chữ f, g, h, ... chẳng hạn khi y là hàm số của biến số x, ta viết y = f(x) hoặc y = g(x), ….

• f(a) là giá trị của hàm số y = f(x) tại x = a. Khi hàm số y được cho bởi công thức y = f(x), muốn tính giá trị f(a) của hàm số tại x = a, ta thay x = a vào biểu thức f(x) rồi thực hiện các phép tính trong biểu thức.

Ví dụ 2. Ta có hàm số y = f(x) = 2x + 1.

Khi đó, f(2) = 2 . 2 + 1 = 5.

• Khi x thay đổi mà y luôn nhận một giá trị không đổi thì y được gọi là một hàm hằng.

Ví dụ 3. Ta có y = f(x) = 3.

Khi đó với giá trị nào của x thì y = 3.

Vậy y là hàm hằng.

2. Đồ thị của hàm số

Tập hợp các điểm biểu diễn các cặp giá trị tương ứng (x; f(x)) trên mặt phẳng tọa độ được gọi là đồ thị của hàm số y = f(x).

Ví dụ 4. Cho đồ thị của hàm số y = f(x) = 2x.

Các cặp giá trị tương ứng trên mặt phẳng tọa độ là O(0; 0); A(1; 2).

3. Hàm số đồng biến, nghịch biến

Cho hàm số y = f(x) xác định với mọi giá trị của x thuộc $ℝ$.

• Nếu giá trị của biến x tăng lên mà giá trị của f(x) tương ứng cũng tăng lên thì hàm số y = f(x) được gọi là hàm số đồng biến trên $ℝ$ (gọi tắt là hàm số đồng biến).

• Nếu giá trị của biến x tăng lên mà giá trị của f(x) tương ứng giảm đi thì hàm số y = f(x) được gọi là hàm số nghịch biến trên R (gọi tắt là hàm số nghịch biến).

Nói cách khác, cho hàm số y = f(x) xác định trên tập số thực R. Với $x_1,x_2\in ℝ$ ta có:

+ Nếu x₁ < x₂ mà f(x₁) < f(x₂) thì hàm số đồng biến.

+ Nếu x₁ < x₂ mà f(x₁) > f(x₂) thì hàm số nghịch biến.

Ví dụ 5. Cho hàm số y = x – 5, xác định với $\forall x\in ℝ$.

Ta có: x₁ < x₂ $\iff$ x₁ – 5 < x₂ – 5.

Hay f(x₁) < f(x₂) nên hàm số y = x – 5 đồng biến trên $ℝ$.

Bài tập tự luyện 

Bài 1:

a) Cho hàm số y = f(x) = 2/3

Tính: f(−2); f(−1); f(0); f(12); f(1); f(2); f(3)f(−2); f(−1); f(0); f(12); f(1); f(2); f(3).

b) Cho hàm số 

Tính: g(−2); g(−1); g(0); g(12); g(1); g(2); g(3)g(−2); g(−1); g(0); g(12); g(1); g(2); g(3).

c) Có nhận xét gì về giá trị của hai hàm số đã cho ở trên khi biến xx lấy cùng một giá trị?

Hướng dẫn giải 

a) Thay các giá trị vào hàm số . Ta có

b) Thay các giá trị vào hàm số  Ta có

c) Khi x lấy cùng một giá trị thì giá trị của g(x) lớn hơn giá trị của f(x) là 3 đơn vị.

Bài 2: Cho hàm số 

a) Tính các giá trị tương ứng của y theo các giá trị của x rồi điền vào bảng sau:

x	-2,5	-2	-1,5	-1	-0,5	0	0,5	1	1,5	2	2,5

b) Hàm số đã cho là hàm số đồng biến hay nghịch biến? Vì sao?

Hướng dẫn giải 

a) Ta có $y=f(x)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}x+3$.

Với $y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}x+3$ thay các giá trị của $x$ vào biểu thức của $y$, ta được:

+) $f\left(-2,5\right)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}.\left(-2,5\right)+3$

$=(-0,5).(-2,5)+3$$=1,25+3=4,25$

+)  $f\left(-2\right)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}.\left(-2\right)+3$

 $=(-0,5).(-2)+3=1+3=4$.

 +) $f\left(-1,5\right)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}.\left(-1,5\right)+3$

$=(-0,5).(-1,5)+3$$=0,75+3=3,75$.

 +) $f\left(-1\right)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}.\left(-1\right)+3$

$=(-0,5).(-1)+3=0,5+3=3,5$.

+) $f\left(-0,5\right)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}.\left(-0,5\right)+3$

$=(-0,5).(-0,5)+3$$=0,25+3=3,25$.

 +) $f\left(0\right)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}.0+3$$=(-0,5).0+3=0+3=3$

 +) $f\left(0,5\right)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}.0,5+3$

$=(-0,5).0,5+3$$=-0,25+3=2,75$

 +) $f\left(1\right)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}.1+3$

$=(-0,5).1+3=-0,5+3=2,5$.

+) $f\left(1,5\right)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}.1,5+3$

$=(-0,5).1,5+3=-0,75+3$$=2,25$

+)  $f\left(2\right)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}.2+3$

$=(-0,5).2+3=-1+3=2$.

 +) $f\left(2,5\right)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}.2,5+3$

$=(-0,5).2,5+3=-1,25+3$$=1,75$

Ta có bảng sau:

b) Nhìn vào bảng giá trị của hàm số ở câu  ta thấy khi  càng tăng thì giá trị của  càng giảm. Do đó hàm số nghịch biến trên .

Bài 3: Cho hai hàm số y = 2x và y = -2x.

a) Vẽ trên cùng một mặt phẳng tọa độ đồ thị của hai hàm số đã cho.

b) Trong hai hàm số đã cho, hàm số nào đồng biến? Hàm số nào nghịch biến? Vì sao?

Hướng dẫn giải 

a) Đồ thị của hàm số y = 2x là đường thẳng đi qua O và điểm A(1; 2).

Đồ thị của hàm số y = -2x là đường thẳng đi qua O và điểm B(1; -2).

b) Hàm số y = 2x đồng biến vì khi x tăng lên thì y tương ứng tăng lên.

Hàm số y = -2x nghịch biến vì khi x tăng lên thì y tương ứng giảm đi.

Bài 4: Đồ thị hàm số  được vẽ bằng compa và thước thẳng ở hình dưới

Hãy tìm hiểu và trình bày lại các bước thực hiện vẽ đồ thị đó.

Hướng dẫn giải 

Ta biết rằng đồ thị hàm số  là một đường thẳng đi qua gốc tọa độ. Hơn nữa, khi x = 1 thì. Do đó điểm thuộc đồ thị. Vì thế để vẽ đồ thị này, ta phải xác định điểm A trên mặt phẳng tọa độ. Muốn vậy ta phải xác định điểm trên trục tung biểu diễn số . Ta có:

Hình vẽ trong SGK thể hiện OC = OB =  và theo định lí Py-ta-go

Dùng compa ta xác định được điểm biểu diễn số . trên Oy. Từ đó xác định được điểm A.

Bài 5 trang 45 sgk Toán 9 tập 1

a) Vẽ đồ thị hàm số y = x và y =2x trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy (h.5).

b) Đường thẳng song song với trục Ox và cắt trục Oy tại điểm có tung độ Y = 4 lần lượt cắt các đường thẳng y = 2x, y = x tại hai điểm A và B.

Tìm tọa độ của các điểm A, B và tính chu vi, diện tích của tam giác OAB theo đơn vị đo trên các trục tọa độ là xentimét.

Hình 5

Hướng dẫn giải 

a) Xem hình trên và vẽ lại

b) A(2; 4), B(4; 4).

Tính chu vi ∆OAB.

Dễ thấy AB = 4 - 2 = 2 (cm).

Áp dụng định lý Py-ta-go, ta có:

Tính diện tích ΔOAB

Gọi C là điểm biểu diễn số 4 trên trục tung, ta có:

S_ΔOAB = S_ΔOBC - S_ΔOAC

Bài 7: Cho hàm số y = f(x) = 3x.

Cho x hai giá trị bất kì x₁, x₂ sao cho x₁ < x₂ .

Hãy chứng minh f(x₁) < f(x₂) rồi rút ra kết luận hàm số đã cho đồng biến trên R.

Hướng dẫn giải 

Từ x₁ < x₂ và 3 > 0 suy ra 3x₁< 3x₂ hay f(x₁) < f(x₂).

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên R.