300 Bài tập về quy tắc đếm (có đáp án năm 2023) - Toán 11

Bài giảng Toán 11 Bài 1: Quy tắc đếm

Kiến thức cần nhớ

I. Quy tắc cộng

- Quy tắc cộng: Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động. Nếu hành động này có m cách thực hiện, hành động kia có n cách thực hiện không trùng với bất kì cách nào của hành động thứ nhất thì công việc đó có m + n cách thực hiện.

- Quy tắc cộng được phát biểu ở trên thực chất là quy tắc đếm số phần tử của hợp hai tập hợp hữu hạn không giao nhau, được phát biểu như sau:

Nếu A và B là các tập hợp hữu hạn và không giao nhau thì:

$n(A\cup B)=n\left(A\right)+n\left(B\right)$

- Chú ý: Quy tắc cộng có thể mở rộng cho nhiều hành động.

- Ví dụ 1. Một lớp học có 21 bạn nữ và 19 bạn nam. Giáo viên chủ nhiệm cần chọn một bạn để làm lớp trưởng. Hỏi giáo viên có bao nhiêu cách chọn?

Lời giải:

+ Trường hợp 1. Giáo viên chọn 1 bạn nam: có 19 cách.

+ Trường hợp 2. Giáo viên chọn 1 bạn  nữ: có 21 cách

Theo quy tắc cộng, giáo viên sẽ có: 19 + 21 = 40 cách chọn 1 bạn làm lớp trưởng.

- Ví dụ 2. Bạn Lan có 10 quyển sách khác nhau; 12 chiếc bút khác nhau và 5 cục tẩy khác nhau. Bạn Lan cần chọn một món đồ để đem tặng Hoa. Hỏi bạn Lan có bao nhiêu cách chọn?

Lời giải:

Bạn Lan có thể chọn:

+ Một quyển sách: có 10 cách chọn

+ Một chiếc bút: có 12 cách chọn.

+ Một cục tẩy: có 5 cách chọn.

Theo quy tắc cộng, bạn Lan có: 10 + 12 + 5 =  27 cách chọn.

II. Quy tắc nhân

- Quy tắc nhân: Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp. Nếu có m cách thực hiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện hành động thứ hai thì có m.n cách hoàn thành công việc.

- Chú ý: Quy tắc nhân có thể mở rộng cho nhiều hành động liên liếp.

- Ví dụ 3. Cho tập A = {1; 3; 4; 5; 6}. Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên có 2 chữ số đôi một khác nhau từ tập A?

Lời giải:

Để tạo ra một số tự nhiên có 2 chữ số đôi một khác nhau từ tập A, ta phải thực hiện liên tiếp hai hành động:

- Hành động 1: Chọn chữ số hàng chục có 5 cách.

- Hành động 2. Chọn chữ số hàng đơn vị. Ứng với mỗi cách chọn chữ số hàng chục, ta có 4 cách chọn chữ số hàng đơn vị (vì chữ số hàng chục khác chữ số hàng đơn vị).

Theo quy tắc nhân, số các số tự nhiên thỏa mãn đầu bài là: 5.4 = 20 số.

- Ví dụ 4. Một người vào cửa hàng ăn, người đó chọn thực đơn gồm 1 món ăn trong 10 món, 1 loại quả tráng miệng trong 6 loại quả tráng miệng và 1 nước uống giải khát trong 4 loại nước uống. Hỏi có bao nhiêu cách chọn thực đơn?

Lời giải:

Để chọn một thực đơn, ta cần thực hiện liên tiếp ba hành động:

- Chọn 1 món ăn trong 10 món có 10 cách.

- Chọn 1 loại quả tráng miệng trong 6 loại quả tráng miệng có 6 cách.

- Chọn 1 nước uống trong 4 loại nước uống có 4 cách.

Theo quy tắc nhân, số cách cách chọn thực đơn là 10.6.4 = 240 cách.

Các dạng bài toán về quy tắc đếm

Dạng 1: Bài toán đếm số tự nhiên

Phương pháp giải:

* Lập số tự nhiên thỏa mãn điều kiện:

- Gọi số tự nhiên có ba chữ số là $\overline{abc}$ với $a,b,c\in \mathbb{N};1\le a\le 9;0\le b,c\le 9$.

Gọi số tự nhiên có bốn chữ số là $\overline{abcd}$ với $a,b,c,d\in \mathbb{N};1\le a\le 9;0\le b,c,d\le 9$.

Tương tự với số có hai, năm, sáu,… chữ số.

- Chọn chữ số có điều kiện trước, chữ số không có điều kiện sau (Chẳng hạn chọn chữ số a trước vì có điều kiện $a\ne 0$. Ở bài toán đếm số chẵn, lẻ, chia hết cho 2, 5, 10 thì đếm chữ số hàng đơn vị trước)

- Dùng quy tắc cộng, nhân để đếm số cần lập.

* Phân biệt cách dùng quy tắc cộng và quy tắc nhân:

- Quy tắc cộng: Một công việc có thể thực hiện được theo các phương án khác nhau, xảy ra phương án 1 thì sẽ không xảy ra phương án 2.

- Quy tắc nhân: Một công việc được hoàn thành khi phải thực hiện liên tiếp các công đoạn.

* Một số dấu hiệu khi lập số

- Dấu hiệu chia hết cho 2: Chữ số tận cùng là 0; 2; 4; 6; 8.

- Dấu hiệu chia hết cho 5: Chữ số tận cùng là 0; 5.

- Dấu hiệu chia hết cho 3: Tổng các chữ số chia hết cho 3.

- Dấu hiệu chia hết cho 9: Tổng các chữ số chia hết cho 9.

- Dấu hiệu chia hết cho 4: Hai chữa số tận cùng chia hết cho 4.

- Dấu hiệu chia hết cho 6: Chia hết cho cả 2 và 3.

- Số tự nhiên chẵn: Chữ số tận cùng là 0; 2; 4; 6; 8.

- Số tự nhiên lẻ: Chữ số tận cùng là 1; 3; 5; 7; 9.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1. Từ các số A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}; có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên thỏa mãn:

a) Số gồm 5 chữ số.

b) Số gồm 5 chữ số khác nhau.

c) Số gồm 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 2.

d) Số gồm 5 chữ số lớn hơn 60000.

e) Số gồm 5 chữ số khác nhau, chứa chữ số 2 và chia hết cho 2.

Lời giải

Gọi số có 5 chữ số cần lập là $\overline{abcde}$ với $a,b,c,d,e\in \left\{1;2;3;4;5;6;7\right\}$.

a) Số gồm 5 chữ số

Chọn a: có 7 cách chọn

Chọn b: có 7 cách chọn

Chọn c: có 7 cách chọn

Chọn d: có 7 cách chọn

Chọn e: có 7 cách chọn

Vậy có 7⁵ số.

b) Số gồm 5 chữ số khác nhau.

Chọn a từ tập A: có 7 cách chọn

Chọn b từ tập A\{a} (có 6 phần tử): có 6 cách chọn

Chọn c từ tập A\{a; b} (có 5 phần tử): có 5 cách chọn

Chọn d từ tập A\{a; b; c} (có 4 phần tử): có 4 cách chọn

Chọn e từ tập A\{a; b; c; d} (có 4 phần tử): có 3 cách chọn

Vậy có 7.6.5.4.3 = 2520 số.

c) Số gồm 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 2

$\overline{abcde}$ chia hết cho 2 nên $e\in \left\{2;4;6\right\}$

Chọn e: có 3 cách chọn

Chọn a từ tập A\{e} (có 6 phần tử): có 6 cách chọn

Chọn b từ tập A\{e; a} (có 5 phần tử): có 5 cách chọn

Chọn c từ tập A\{e; a; b} (có 4 phần tử): có 4 cách chọn

Chọn d từ tập A\{e; a; b; c} (có 3 phần tử): có 3 cách chọn

Vậy có 3.6.5.4.3 = 1080 số.

d) Số gồm 5 chữ số lớn hơn 60000.

Vì $\overline{abcde}>60000$

Nên $a\in \left\{6;7\right\}$. Chọn a: có 2 cách chọn

Chọn b từ tập A\{a} (có 6 phần tử): có 6 cách chọn

Chọn c từ tập A\{a; b} (có 5 phần tử): có 5 cách chọn

Chọn d từ tập A\{a; b; c} (có 4 phần tử): có 4 cách chọn

Chọn e từ tập A\{a; b; c; d} (có 4 phần tử): có 3 cách chọn

Vậy có 2.6.5.4.3 = 720 số.

e) Số gồm 5 chữ số khác nhau, chứa chữ số 2 và chia hết cho 2.

+ Số có 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 2 có 1080 số (câu c)

+ Ta lập số có 5 chữ số khác nhau, chia hết cho 2 và không chứa chữ số 2:

$\overline{abcde}$ chia hết cho 2 và không chứa 2 nên $e\in \left\{4;6\right\}$

Chọn e: có 2 cách chọn

Chọn a từ tập A\{2; e} (có 5 phần tử): có 5 cách chọn

Chọn b từ tập A\{2; e; a} (có 4 phần tử): có 4 cách chọn

Chọn c từ tập A\{2; e; a; b} (có 3 phần tử): có 3 cách chọn

Chọn d từ tập A\{2; e; a; b; c} (có 2 phần tử): có 2 cách chọn

Như vậy có 2.5.4.3.2 = 240 số có 5 chữ số khác nhau, chia hết cho 2 và không chứa chữ số 2.

Vậy có 1080 – 240 = 840 số có 5 chữ số khác nhau, chia hết cho 2 và chứa chữ số 2.

Ví dụ 2: Từ các số 0; 1; 2; 3; 4; 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên thỏa mãn:

a) Số lẻ có 5 chữ số khác nhau

b) Số có 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 5

Lời giải

a) Gọi số có 5 chữ số cần lập là $\overline{abcde}$ với $a\ne 0$, các chữ số được lấy từ A = {0; 1; 2; 3; 4; 5}.

$\overline{abcde}$ là số lẻ nên $e\in \left\{1;3;5\right\}$. Chọn e: có 3 cách chọn

Chọn a từ tập A\{0; e} (có 4 phần tử): có 4 cách chọn

Chọn b từ tập A\{e; a} (có 4 phần tử): có 4 cách chọn

Chọn c từ tập A\{e; a; b} (có 3 phần tử): có 3 cách chọn

Chọn d từ tập A\{e; a; b; c} (có 2 phần tử): có 2 cách chọn

Vậy có 3.4.4.3.2 = 288 số lẻ có 5 chữ số khác nhau.

b) Gọi số có 5 chữ số cần lập là $\overline{abcde}$ với $a\ne 0$, các chữ số được lấy từ A = {0; 1; 2; 3; 4; 5}.

$\overline{abcde}$ chia hết cho 5 nên $e\in \left\{0;5\right\}$

+ Trương hợp 1: e = 0

Chọn a từ tập A\{0} (có 5 phần tử): có 5 cách chọn

Chọn b từ tập A\{0; a} (có 4 phần tử): có 4 cách chọn

Chọn c từ tập A\{0; a; b} (có 3 phần tử): có 3 cách chọn

Chọn d từ tập A\{0; a; b; c} (có 2 phần tử): có 2 cách chọn

Như vậy có 5.4.3.2 = 120 số.

+ Trường hợp 2: e = 5

Chọn a từ tập A\{0; 5} (có 4 phần tử): có 4 cách chọn

Chọn b từ tập A\{5; a} (có 4 phần tử): có 4 cách chọn

Chọn c từ tập A\{5; a; b} (có 3 phần tử): có 3 cách chọn

Chọn d từ tập A\{5; a; b; c} (có 2 phần tử): có 2 cách chọn

Như vậy có 4.4.3.2 = 96 số.

Vậy có tất cả 120 + 96 = 216 số có 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 5.

Dạng 2: Bài toán đếm trong thực tế, phân công công việc

Phương pháp giải:

Sử dụng quy tắc cộng và quy tắc nhân.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1. Từ thành phố A đến thành phố B có 3 con đường, từ thành phố B đến thành phố C có 4 con đường. Có bao nhiêu cách đi từ thành phố A đến thành phố C, biết phải đi qua thành phố B.

Lời giải

Cách 1: Làm bằng cách liệt kê các con đường đi:

Căn cứ vào sơ đồ trên, ta có các con đường đi là: 1a, 1b, 1c, 1d, 2a, 2b, 2c, 2d, 3a, 3b, 3c, 3d. Vậy có 12 con đường.

Cách 2: Sử dụng quy tắc nhân

Đi từ A đến B có 3 con đường

Đi từ B đến C có 4 con đường

Vậy để đi từ A đến C có 3.4 = 12 con đường.

Ví dụ 2: Trong một lớp có 18 học sinh nam và 12 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn

a) Một bạn phụ trách lớp trưởng?

b) Hai bạn, trong đó có 1 bạn nam và 1 bạn nữ?

Lời giải

a) Chọn 1 bạn phụ trách lớp trưởng

Trường hợp 1: Chọn 1 bạn nam: có 18 cách chọn

Trường hợp 2: Chọn 1 bạn nữ: có 12 cách chọn

Vậy có 18 + 12 cách chọn.

b) Chọn 2 bạn, trong đó có 1 bạn nam và một bạn nữ

Chọn 1 bạn nam: có 18 cách chọn

Chọn 1 bạn nữ: có 12 cách chọn

Vậy có 18.12 = 216 cách chọn.

Dạng 3: Bài toán hình học

Phương pháp giải:

* Sử dụng quy tắc cộng và quy tắc nhân

* Chú ý:

- Đếm vectơ: Hai điểm đầu và cuối khác nhau (Tức là vectơ AB và vectơ BA tính 2 lần đếm khác nhau).

- Đếm đoạn thẳng: Hai đầu mút có vai trò như nhau (Tức là đoạn thẳng AB và đoạn thẳng BA chỉ tính 1 lần đếm)

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1. Cho hai đường thẳng song song d, d’. Trên d lấy 10 điểm phân biệt, trên d’ lấy 15 điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu tam giác mà đỉnh của nó được chọn từ 25 đỉnh nói trên?

A. 1050

B. 675

C. 1725

D. 708750

Lời giải

Chọn C

+ Trường hợp 1: Chọn 2 điểm từ d và 1 điểm từ d’

Chọn điểm thứ nhất từ d: có 10 cách chọn

Chọn điểm thứ hai từ d: có 9 cách chọn

Vì thay đổi thứ tự lấy điểm không tạo ra cách chọn mới nên số cách chọn 2 điểm từ đường thẳng d là $\frac{9.10}{2}=45$ cách chọn.

Chọn 1 điểm từ d’: có 15 cách chọn

Như vậy có 45.15 = 675 cách chọn tam giác từ 2 điểm thuộc d và 1 điểm thuộc d’.

+ Trường hợp 2: Chọn 2 điểm từ d’ và 1 điểm từ d

Chọn điểm thứ nhất từ d’: có 15 cách chọn

Chọn điểm thứ hai từ d’: có 14 cách chọn

Vì thay đổi thứ tự lấy điểm không tạo ra cách chọn mới nên số cách chọn 2 điểm từ đường thẳng d’ là $\frac{15.14}{2}=105$ cách chọn.

Chọn 1 điểm từ d: có 10 cách chọn.

Như vậy có 105.10 = 1050 cách chọn tam giác từ 2 điểm thuộc d’ và 1 điểm thuộc d.

Vậy có 675 + 1050 = 1725 tam giác được tạo ra.

Ví dụ 2. Trong mặt phẳng có 30 điểm. Có bao nhiêu vectơ khác vectơ – không mà điểm đầu và điểm cuối được lấy từ 30 điểm trên?

A. 870

B. 435

C. 30²

D. 2³⁰

Lời giải

Chọn A

Chọn điểm đầu: có 30 cách chọn

Chọn điểm cuối: có 29 cách chọn

Vậy có 30.29 = 870 vectơ được lấy từ 30 điểm.

Bài tập tự luyện

1. Bài tập vận dụng

Bài 1. Lớp 11A có 43 học sinh, trong đó có 11 học sinh giỏi nữ, 7 học sinh giỏi nam. Giáo viên chủ nhiệm cần chọn hai học sinh giỏi của lớp gồm 1 nam và 1 nữ để tham gia đại hội chi đoàn. Hỏi giáo viên có bao nhiêu cách lựa chọn ?

Lời giải:

Để lựa chọn được hai bạn thỏa mãn yêu cầu, ta chia làm hai công việc liên liếp:

Công việc 1: Chọn một học sinh giỏi nữ, có 11 cách thực hiện.

Công việc 2: Chọn một học sinh giỏi nam, có 7 cách thực hiện.

Vậy theo quy tắc nhân, sẽ có 11.7 = 77 cách lựa chọn.

Bài 2. Trên bàn có 5 viên bi xanh được đánh số từ 1 đến 5; 4 viên bi đỏ được đánh số từ 1 đến 4; 2 viên bi vàng được đánh số từ 1 đến 2.

a) Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra 1 viên bi?

b) Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra ba viên bi khác màu ?

Lời giải:

a) Để chọn 1 viên bi ta có các trường hợp sau:

- Chọn 1 viên bi xanh có 5 cách.

- Chọn 1 viên bi đỏ có 4 cách.

- Chọn 1 viên bi vàng có 2 cách.

Theo quy tắc cộng có 5 + 4 + 2 = 11 cách lấy ra một bi.

b) Để lấy ra ba viên bi khác màu ta có 3 hành động liên tiếp cần thực hiện:

Bước 1: Chọn 1 viên bi xanh bất kì: có 5 cách thực hiện.

Bước 2: Chọn 1 viên bi đỏ bất kì: có 4 cách thực hiện.

Bước 3: Chọn 1 viên bi vàng bất kì: có 2 cách thực hiện.

Vậy theo quy tắc nhân có: 5.4. 2 = 40 cách chọn.

Bài 3. Một căn phòng được trang bị 6 bóng đèn. Để phòng có ánh sáng cần ít nhất một bóng đèn phải được bật. Hỏi có bao nhiêu cách bật, tắt các bóng đèn để căn phòng có ánh sáng ?

Lời giải:

Với mỗi bóng đèn ta có hai sự lựa chọn trạng thái là bật hoặc tắt.

Như vậy, theo quy tắc nhân sẽ có 2⁶ = 64 cách lựa chọn bật, tắt các bóng đèn đó.

Tuy nhiên có một trạng thái duy nhất là khi cả 6 bóng đèn đều tắt thì phòng không có ánh sáng.

Vậy để phòng có ánh sáng thì có 64 – 1 = 63  cách bật, tắt các bóng đèn để căn phòng có ánh sáng.

Bài 4. Từ các chữ số 1; 2; 3; 5; 9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên nhỏ hơn 200?

Lời giải:

+ Trường hợp 1: Số cần lập có 1 chữ số: có 5 số thỏa mãn là 1; 2; 3; 5; 9.

+ Trường hợp 2: Số cần lập có 2 chữ số.

Chọn chữ số hàng chục có: 5 cách.

Chọn chữ số hàng đơn vị có: 5 cách

Theo quy tắc nhân có: 5.5 = 25 số thỏa mãn.

+ Trường hợp 3: Số cần lập có 3 chữ số.

Chọn chữ số hàng trăm có 1 cách (chữ số hàng trăm phải là 1) – vì số cần lập nhỏ hơn 200.

Chọn chữ số hàng chục có: 5 cách.

Chọn chữ số hàng đơn vị có: 5 cách

Theo quy tắc nhân có: 1.5.5 = 25 số thỏa mãn.

Suy ra; số các số thỏa mãn đầu bài là: 5 + 25 + 25 = 55 số.

2. Bài tập tự luyện có hướng dẫn