30 Bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ (2024) có đáp án chi tiết

Với Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải Toán lớp 10 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập tổng và hiệu của hai vectơ từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 10. Mời bạn đọc tham khảo:

Tổng và hiệu của hai vectơ

1. Lí thuyết

- Tổng của hai vectơ: Cho hai vectơ Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải tùy ý. Lấy một điểm A tùy ý, vẽ vectơCác bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải VectơCác bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải được gọi là tổng của hai vectơ Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giảitức là: Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải.

- Tính chất của phép cộng các vectơ: Với các vectơCác bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giảitùy ý ta có:

+) Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải(tính chất giao hoán);

+) Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải (tính chất kết hợp);

+) Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải(tính chất của vectơ – không)

- Vectơ đối: Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với vectơCác bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giảiđược gọi là vectơ đối của vectơ Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải. Kí hiệu là -Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải.

- Hiệu của hai vectơ: Cho hai vectơ Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giảitùy ý. Ta có: Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải .

- Quy tắc ba điểm: Với A, B, C tùy ý ta luôn có: Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giảiCác bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải

- Quy tắc hình bình hành: Nếu ABCD là hình bình hành thì Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải .

- Quy tắc trung điểm: Với I là trung điểm của đoạn thẳng AB ⇔ Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải .

- Quy tắc trọng tâm: Với G là trọng tâm của tam giác ABC ⇔ Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải .

- Chú ý: Vectơ đối của vectơ - không là vectơ - không.

2. Các dạng bài

Dạng 1: Tìm tổng của hai hay nhiều vectơ

Phương pháp giải:

Dùng định nghĩa tổng của hai vectơ, quy tắc ba điểm về tổng, quy tắc hình bình hành và các tính chất của tổng các vectơ.

Ví dụ minh họa:

Bài 1: Cho 5 điểm tùy ý A, B, C, D, E. Tính tổng Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải.

Giải:

Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải

=Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải(áp dụng tính chất giao hoán và kết hợp)

=Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải(áp dụng quy tắc ba điểm)

Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải(áp dụng tính chất giao hoán)

Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải(áp dụng quy tắc ba điểm)

Bài 2: Cho hình vuông ABCD tâm O. Tính tổng Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải và Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải

Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải

Giải:

+) Vì ABCD là hình vuông ⇒ AB // DC và AB = DC.

⇒ Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải

+) Áp dụng quy tắc ba điểm cho D, C, B ta có: Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải

Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải

+) Vì A, O, C cùng nằm trên một đường thẳng và OA = OC (O là tâm hình vuông ABCD) ⇒ Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải ⇒ Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải

+) Áp dụng quy tắc ba điểm cho O, A, D ta có: Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải⇒ Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải

Dạng 2: Tìm vectơ đối và hiệu của hai vectơ

Phương pháp giải:

Dùng định nghĩa hiệu của hai vectơ, tìm vectơ đối và áp dụng quy tắc ba điểm về hiệu.

Ví dụ minh họa:

Bài 1: Cho hình vuông ABCD có tâm O. Tìm vectơ đối của các vectơ Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải.

Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải

Giải:

+) Vì Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải= AB và Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giảingược hướng với Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải .

+) Vì AB = DC , AB // DC (do ABCD là hình vuông)

⇒ Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải và Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giảingược hướng với Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải .

+) Vì A, O, C là ba điểm thẳng hàng và OA = OC (do ABCD là hình vuông)

⇒ Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giảingược hướng với Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giảiCác bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải ⇒ Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải .

Vậy Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải là vectơ đối của vectơ Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải và Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải là vectơ đối của Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải .

Bài 2: Cho hình chữ nhật ABCD. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Tính các hiệu Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải.

Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải

Giải:

+) Vì Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải= AB và Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giảingược hướng vớiCác bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải .

+) Ta có: Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải .

+) Áp dụng quy tắc ba điểm cho ba điểm A, D, B có: Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải .

+) VìCác bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải= OD và Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giảingược hướng với Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải .

+) Ta có:Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải .

Dạng 3: Chứng minh đẳng thức vectơ

Phương pháp giải: Sử dụng quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, trung điểm, trọng tâm, để biến đổi vế này thành vế kia của đẳng thức hoặc biến đổi cả hai vế để được hai vế bằng nhau hoặc ta cũng có thể biến đổi đẳng thức véctơ cần chứng minh đó tương đương với một đẳng thức vectơ đã được công nhận là đúng.

Ví dụ minh họa:

Bài 1: Cho sáu điểm tùy ý A, B, C, D, E, F. Chứng minh đẳng thức sau:

Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải

Giải:

+) Áp dụng quy tắc ba điểm ta có: Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải .

⇒ VT = Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải

⇒ VT = Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải

+) Áp dụng quy tắc ba điểm ta có:Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải

⇒ VT = Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải

⇒ VT = Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải (điều cần phải chứng minh)

Bài 2: Cho tam giác ABC. Cho M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC. Điểm O bất kì. Chứng minh đẳng thức: Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải .

Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải

Giải:

Giả sử Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải là đúng.

⇒ Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải

⇒ Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải (1)

Vì N là trung điểm của AC ⇒ Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải

Xét tam giác ABC có MN là đường trung bình và P là trung điểm của BC .

⇒ MN = Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giảiBC = BP ⇒ Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải

(1) ⇔ Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải

⇔ Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải

⇔ Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải

⇔ Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải (luôn đúng)

Đẳng thức Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải là đúng.

Dạng 4: Tính độ dài các vectơ tổng hoặc hiệu

Phương pháp giải:

Đưa tổng hoặc hiệu của các véctơ về một véctơ có độ dài là một cạnh của đa giác để tính độ dài của vectơ.

Ví dụ minh họa:

Bài 1: Cho hình chữ nhật ABCD. Biết AB = 4a, AD = 2a. Tính Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải .

Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải

Giải:

+) Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có:

Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải

⇒ Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải

+) Vì ABCD là hình chữ nhật BC = AD = 2a.

+) Xét tam giác ABC vuông tại B.

Áp dụng định lý Py-ta-go ta có:

AC2 = AB2 + BC2

⇒ AC= (4a)2 + (2a)2 = 20a2

⇒ AC = Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải

⇒ Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải= AC =Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải

Bài 2: Cho tam giác ABC đều cạnh a. Tính Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải.

Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải

Giải:

+) Vì Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải= AB và Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải ngược hướng với Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải .

⇒ Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải

+) Ta có: Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải

⇒ Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải

3. Bài tập tự luyện (có đáp án)

Bài 1: Cho hình chữ nhật ABCD. Chứng minh rằng Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải .

Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải

Đáp án: Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải

Bài 2: Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O. Tính tổng sau:

Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải

Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải

Đáp án: Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải

Bài 3: Cho 5 điểm tùy ý M, N, P, Q, E. Tính tổng Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải.

Đáp án: Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải

Bài 4: Cho hình thoi ABCD tâm O. Tìm các vectơ đối của vectơ Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải.

Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải

Đáp án: Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải

Bài 5: Cho 4 điểm A, B, C, D tùy ý. Tính hiệu Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải .

Đáp án: Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải

Bài 6: Cho tam giác ABC có M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC. Tính hiệu Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải .

Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải

Đáp án: Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải

Bài 7: Cho 5 điểm A, B, C, D, E tùy ý. Chứng minh đẳng thức sau:

Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải

Đáp án: VT = Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải= VP

Bài 8: Cho hình bình hành ABCD tâm O. Chứng minh rằng:

Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải

Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải

Đáp án: VT =Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải VP = Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải mà Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải⇒ VT = VP

Bài 9: Cho hình bình hành ABCD. O là điểm tùy ý thuộc đường chéo AC. Từ O kẻ đường thẳng song song với các cạnh của hình bình hành, cắt AB tại M, cắt DC tại N, cắt BC tại F, cắt AD tại E. Chứng minh: Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải .

Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải

Đáp án: VP = Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải= VT

Bài 10: Cho hình chữ nhật ABCD tâm O . Biết AB = 2a, AD = a. Tính Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải

Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải

Đáp án: Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải

Bài 11: Cho tam giác vuông ABC vuông tại A. Có ∠B = 60o , AB = a. Tính Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải .

Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải

Đáp án: Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải

Bài 12: Cho hình thoi ABCD tâm O cạnh a. Biết ∠BAD = 60o . Tính Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải

Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải

Đáp án: Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải

Xem thêm các dạng bài tập toán hay khác:

80 Bài tập Tổng và hiệu của hai vectơ (có đáp án năm 2023)

80 Bài tập về vectơ trong mặt phẳng tọa độ (có đáp án năm 2024)

90 Bài tập tích vô hướng của hai vectơ (có đáp án năm 2023)

80 Bài tập số gần đúng và sai số (có đáp án năm 2023)

80 Bài tập các số đặc trưng đo độ phân tán (có đáp án năm 2023)

Bình luận (0)

Đăng nhập để có thể bình luận

Chưa có bình luận nào. Bạn hãy là người đầu tiên cho tôi biết ý kiến!