30 bài tập về Phương trình đường tròn (2024) cực hay, chi tiết nhất

Phương trình đường tròn

Lý thuyết

1. Phương trình đường tròn có tâm và bán kính cho trước

Trong mặt phẳng Oxy, đường tròn (C ) tâm I(a; b) bán kính R có phương trình:

(x – a)² + (y – b)² = R²

Chú ý. Phương trình đường tròn có tâm là gốc tọa độ O và bán kính R là x² + y² = R²

Nhận xét

+) Phương trình đường tròn (x – a)² + (y – b)² = R² có thể viết dưới dạng

x² + y² – 2ax – 2by + c = 0

trong đó c = a² + b² – R².

+) Phương trình x² + y² – 2ax – 2by + c = 0 là phương trình của đường tròn (C) khi a² + b² – c² > 0. Khi đó, đường tròn (C) có tâm I(a; b), bán kính R = 

2. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Cho đường tròn (C) có tâm I(a; b) và bán kính R.

Đường thẳng Δ là tiếp tuyến với (C) tại điểm M_o(x_o; y_o).

Ta có

+) M_o(x_o; y_o) thuộc Δ.

+) = (x0 – a; y0 – b) là vectơ pháp tuyến của Δ.

Do đó Δ có phương trình là

(x_o – a).(x – x_o) + (y_o – b).(y – y_o) = 0.

Các dạng bài tập về phương trình đường tròn

Dạng 1: Tìm tâm và bán kính của đường tròn

Phương pháp giải: 

Cách 1: Dựa trực tiếp vào phương trình đề bài cho:

Từ phương trình (x-a)² + (y-b)² = R² ta có: tâm I (a; b), bán kính R 

Từ phương trình x² + y² - 2ax - 2by + c = 0 ta có: tâm I (a; b), bán kính R = 

Cách 2: Biến đổi phương trình x² + y² - 2ax - 2by + c = 0 về phương trình (x-a)² + (y-b)² = R²  để tìm tâm I (a; b) , bán kính R. 

Ví dụ minh họa:

Bài 1: Cho đường tròn có phương trình x² + y² - 6x + 10y - 2 = 0. Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn. 

Lời giải:

Gọi tâm của đường tròn là I (a; b) và bán kính R ta có: 

 I(-3;5)

R =  =  = 6

Vậy đường tròn có tâm I (3; -5) và bán kính R = 6. 

Bài 2: Cho đường tròn có phương trình 4x² + 4y² - 4x + 8y - 59 = 0 . Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn. 

Lời giải:

Gọi tâm của đường tròn là I (a; b) và bán kính R ta có: 

4x² + 4y² - 4x + 8y - 59 = 0

 x² + y² - x + 2y -  = 0

 x²  - x + y² + 2y -  = 0

 x² - x +  + y² + 2y + 1 - 16 = 0

 + (y+1)² = 16

 + (y+1)² = 4²

Vậy đường tròn có tâm I và bán kính R = 4.

Dạng 2: Cách viết các dạng phương trình đường tròn

Phương pháp giải: 

Cách 1: 

- Tìm tọa độ tâm I (a; b) của đường tròn (C) 

- Tìm bán kính R của đường tròn (C)

- Viết phương trình đường tròn dưới dạng (x-a)² + (y-b)² = R²

Cách 2: 

- Giả sử phương trình đường tròn có dạng x² + y² - 2ax - 2by + c = 0

- Từ đề bài, thiết lập hệ phương trình 3 ẩn a, b, c 

- Giải hệ tìm a, b, c rồi thay vào phương trình đường tròn.  

Chú ý: Khi đường tròn (C) tâm I  đi qua hai điểm A, B thì IA² = IB² = R²

Ví dụ minh họa:

Bài 1: Lập phương trình đường tròn (C) tâm I (1; -3) và đi qua điểm O (0; 0). 

Lời giải:

Đường tròn (C) đi qua điểm O (0; 0) nên ta có: IO = R =  = 

Đường tròn (C) có tâm I (1; -3) và bán kính R =  , ta có phương trình đường tròn: (x-1)² + (y+3)² = 1.

Bài 2: Lập phương trình đường tròn (C) biết đường tròn đi qua ba điểm A (-1; 3),   B (3; 5) và C (4; -2). 

Lời giải:

Giả sử phương trình đường tròn có dạng x² + y² - 2ax - 2by + c = 0

Đường tròn đi qua điểm A (1; 1) nên ta có phương trình:

(-1)² + 3² - 2a.(-1) - 2b.3 + c = 0

 2a - 6b + c = -10 (1)

Đường tròn đi qua điểm B (3; 5) nên ta có phương trình: 

3² + 5² - 2a.3 - 2b.5 + c = 0

 -6a - 10b + c = -34 (2)

Đường tròn đi qua điểm C (4; -2) nên ta có phương trình: 

4² + (-2)² - 2a.4 - 2b.(-2)+ c = 0

 -8a + 4b + c = -20 (3)

Từ (1), (2), (3) ta có hệ phương trình:

Ta có phương trình đường tròn: 

x² + y² - 2.x - 2.y -  = 0

x² + y² - x - y -  = 0

Dạng 3: Vị trí tương đối của hai đường tròn, đường tròn và đường thẳng

Phương pháp giải: 

- Vị trí tương đối của hai đường tròn: 

Cho hai đường tròn (C₁) có tâm I₁, bán kính R₁ và đường tròn (C₂) có tâm I₂, bán kính R₂.

+ Nếu I₁I₂ > R₁ +  R₂  thì hai đường tròn không có điểm chung .

+ Nếu thì I₁I₂ = R₁ +  R₂ hai đường tròn tiếp xúc ngoài

+ Nếu I₁I₂ = |R₁ -  R₂| thì hai đường tròn tiếp xúc trong.

+ Nếu R₁ -  R₂ < I₁I₂ < R₁ +  R₂ thì hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm (với R₁ >  R₂ ).

- Vị trí tương đối của đường tròn và đường thẳng: 

Cho đường tròn (C) tâm I (x₀;y₀) có phương trình (x-a)² + (y-b)² = R² hoặc x² + y² - 2ax - 2by + c = 0 và đường thẳng   có phương trình ax + by + c = 0

+ Tính khoảng cách d (I, ) từ tâm I đến đường thẳng   theo công thức:

d(I, ) = 

+ Tính bán kính R của đường tròn (C).

+ So sánh d (I,)  với R :

Nếu d (I,) = R thì đường thẳng   tiếp xúc với đường tròn (C).

Nếu d (I,) > R thì đường thẳng  không giao với đường tròn (C).

Nếu d (I,) < R thì đường thẳng  giao với đường tròn (C) tại 2 điểm phân biệt.

Ví dụ minh họa:

Bài 1: Cho đường tròn (C) có phương trình x² + y² = 32. Xác định vị trí tương đối của đường thẳng d’: 3x + 5y – 1 = 0 và đường tròn (C).

Lời giải:

Xét phương trình đường tròn x² + y² = 32 có: 

Tâm I (0; 0) 

Bán kính R = 

Xét phương trình đường thẳng: d’: 3x + 5y – 1 = 0 

Khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng d’ là :

d (I, d’) =  < R = 4

Vậy đường thẳng d’ cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt. 

Bài 2: Cho đường tròn (C) có phương trình (x-1)² + (y-1)² = 25 và đường tròn (C’) có phương trình (x-6)² + (y-5)² = 18. Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn (C) và (C’). 

Lời giải:

Xét phương trình đường tròn (C) là (x-1)² + (y-1)² = 25, ta có: 

Tâm I₁(1;1), bán kính R₁ =  = 5

Xét phương trình đường tròn (C’) là (x-6)² + (y-5)² = 18, ta có: 

Tâm I₂(6;5), bán kính R₂ = 

Ta có: 

R₁ +  R₂ = 5 + 3

R₁ -  R₂ = 5 - 3

 R₁ -  R₂ < I₁I₂  < R₁ +  R₂

Vậy hai đường tròn (C) và (C’) cắt nhau tại hai điểm. 

Dạng 4: Tiếp tuyến với đường tròn

Phương pháp giải: 

- Tiếp tuyến tại một điểm M(x₀;y₀) thuộc đường tròn. Ta có:

+ Nếu phương trình đường tròn có dạng x² + y² - 2ax - 2by + c = 0 thì phương trình tiếp tuyến là: xx₀ + yy₀ - a(x+x₀) - b(y+y₀) + c = 0

+ Nếu phương trình đường tròn có dạng (x-a)² + (y-b)² = R² thì phương trình tiếp tuyến là: (x-a)(x₀-a) + (y-b)(y₀-b) = R² 

- Tiếp tuyến vẽ từ một điểm N(x₀;y₀) cho trước nằm ngoài đường tròn. 

+ Viết phương trình của đường thẳng đi qua điểm N: 

y-y₀ = m(x-x₀)  mx - y - mx₀ + y₀ = 0 (1)

+ Cho khoảng cách từ tâm I của đường tròn (C) tới đường thẳng d bằng R, ta tính được m thay m vào phương trình (1) ta được phương trình tiếp tuyến. Ta luôn tìm được hai đường tiếp tuyến. 

- Tiếp tuyến d song song với một đường thẳng có hệ số góc k. 

+ Phương trình của đường thẳng d có dạng: y = kx + m (m chưa biết) 

 kx – y + m = 0 (2)

+ Cho khoảng cách từ tâm I đến d bằng R, ta tìm được m. Thay vào (2) ta có phương trình tiếp tuyến.

Ví dụ minh họa: 

Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) tại điểm M (3; 4) biết đường tròn có phương trình là (x-1)² + (y-2)² = 8. 

Lời giải:

Xét phương trình đường tròn (C) có: Tâm I (1; 2) và bán kính R = 

Vậy phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm M (3; 4) là: 

(3 – 1)(x – 3) + (4 – 2)(y – 4) = 0 

 3x – 9 – x + 3 + 4y – 16 – 2y + 8 = 0

 2x + 2y – 14 = 0

 x + y – 7 = 0

Bài 2: Cho đường tròn (C) có phương trình: x² + y² - 4x + 8y + 18 = 0. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua A (1; 1). 

Lời giải:

Xét phương trình đường tròn: x² + y² - 4x + 8y + 18 = 0

Ta có tâm I (2; -4) và bán kính R = 

Xét điểm A (1; 1) có:

1² + 1² - 4.1 + 8.1 + 18 # 0  Điểm A không nằm trên đường tròn (C)

Gọi phương trình đường thẳng đi qua điểm A (1; 1) với hệ số góc k là 

 : y = k(x – 1) + 1  kx – y – k + 1 = 0

Để đường thẳng  là tiếp tuyến của đường tròn (C) thì khoảng cách từ tâm I tới đường thẳng   phải bằng bán kính R.

Ta có: d (I,  ) = R

 

 |k+5| = 

 k² + 10k + 25 = 2k² + 2

 k² - 10k - 23 = 0

Với k = 5 - 4 ta có phương trình tiếp tuyến của (C) là:

y = (5-4)x - 5 + 4 + 1  y = (5-4 )x - 4 + 4

Với k = 5 + 4 ta có phương trình tiếp tuyến của (C) là:

y = (5+4)x - 5 - 4 + 1  y =(5+4 )x - 4 -4 

Bài tập tự luyện (có đáp án)

Bài 1: Tìm tâm và bán kính của đường tròn có phương trình: x² + y² - 2x - 2y - 2 = 0

Đáp án: Tâm I (1; 1) và R = 2

Bài 2: Tìm tâm và bán kính của đường tròn có phương trình: (x-2)² + (y-3)² = 18

Đáp án: Tâm I (2; 3) và R = 3

Bài 3: Cho phương trình: x² + y² - 4mx - 2my + 2m +3 = 0. Tìm m để phương trình là phương trình đường tròn. 

Đáp án: m > 1 hoặc m < 

Bài 4: Viết phương trình đường tròn tâm I (1; 2) đi qua điểm B (5; 0). 

Đáp án: (x-1)² + (y-2)² = 20

Bài 5: Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm A (1; 4), B (8; 3) và C (5; 0)

Đáp án: x² + y² - 9x - 7y + 20 = 0

Bài 6: Cho đường tròn (C) có phương trình: x² + y² - 1 = 0. Xác định vị trí tương đối của đường tròn với đường thẳng d: x + y – 1 = 0.

Đáp án: d cắt (C) tại hai điểm phân biệt 

Bài 7: Cho hai đường tròn: (C) có phương trình là x² + y² - 2x + 4y - 4 = 0 và (C’) có phương trình x² + y² + 2x - 2y - 14 = 0. Xét vị trí tương đối của hai đường tròn. 

Đáp án: (C) cắt (C’) tại hai điểm phân biệt. 

Bài 8: Viết phương trình đường tròn đi qua điểm A (2; 1) và tiếp xúc với hai trục Ox, Oy.  

Đáp án: (x-1)² + (y-1)² = 1

Bài 9: Cho phương trình đường tròn (C): (x-1)² + (y-1)² = 13. Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C) tại điểm B (3; 4). 

Đáp án: d: 2x + 3y – 18 = 0

Bài 10:  Cho phương trình đường tròn (C): (x-7)² + (y-1)² = 10. Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C) đi qua điểm A (9; 5). 

Đáp án: d: x – 3y + 6 = 0 và d’: 3x + y – 32 = 0

Bài 11: Lập phương trình đường tròn trong mỗi trường hợp sau:

a) Đường tròn có tâm O(– 3; 4) và bán kính R = 9;

b) Đường tròn có tâm I(5; – 2) và đi qua điểm M(4; – 1);

c) Đường tròn có tâm I(1; – 1) và có một tiếp tuyến là Δ: 5x – 12y – 1 = 0;

d) Đường tròn đường kính AB với A(3; – 4) và B(– 1; 6);

e) Đường tròn đi qua ba điểm A(1; 1); B(3; 1); C(0; 4).

Lời giải:

a) Phương trình đường tròn có tâm O(– 3; 4) và bán kính R = 9 là

(x – (– 3))² + (y – 4)² = 9² hay (x + 3)² + (y – 4)² = 81.

b) Đường tròn có tâm I và đi qua điểm M thì có bán kính là

R = IM = $\sqrt{{\left(4-5\right)}^2+{\left(\left(-1\right)-\left(-2\right)\right)}^2}=\sqrt{2}$.

Vậy phương trình đường tròn cần lập là (x – 5)² + (y – (– 2))² = ${\left(\sqrt{2}\right)}^2$ hay (x – 5)² + ( y + 2)² = 2.

c) Khoảng cách từ tâm I của đường tròn đến tiếp tuyến ∆ chính bằng bán kính của đường tròn.

Vậy phương trình đường tròn cần lập là ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y-\left(-1\right)\right)}^2={\left(\frac{16}{13}\right)}^2$ hay ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2=\frac{256}{169}$.

d) Ta có: AB = $\sqrt{{\left(-1-3\right)}^2+{\left(6-\left(-4\right)\right)}^2}=2\sqrt{29}$.

Gọi I là trung điểm của AB, ta có tọa độ của I là $x_I=\frac{3+\left(-1\right)}{2}=1,y_I=\frac{\left(-4\right)+6}{2}=1$ hay I(1; 1).

Đường tròn đường kính AB có tâm là trung điểm I của AB và có bán kính R =$\frac{AB}{2}=\sqrt{29}.$

Vậy phương trình đường tròn đường kính AB là (x – 1)² + (y – 1)² = 29.

e) Giả sử tâm của đường tròn là điểm I(a; b).

Ta có IA = IB = IC ⇔ IA² = IB² = IC².

Vì IA² = IB², IB² = IC² nên

Đường tròn tâm I(2; 3) bán kính R = IC = $\sqrt{a^2+{\left(4-b\right)}^2}$$=\sqrt{2^2+{\left(4-3\right)}^2}=\sqrt{5}$.

Phương trình đường tròn là ${\left(x-2\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2={\left(\sqrt{5}\right)}^2$.

Vậy phương trình đường tròn là (x – 2)² + (y – 3)² = 5.

Bài 12: Viết phương trình đường tròn (C) trong mỗi trường hợp sau:

a) (C) có tâm I(- 6; 2) bán kính 7.

b) (C) có tâm I(3; - 7) và đi qua điểm A(4; 1)

c) (C) có tâm I(1; 2) và tiếp xúc với đường thẳng 3x + 4y + 19 = 0.

d) (C) có đường kính AB với A(- 2; 3) và B(0; 1)

e) (C) có tâm I thuộc đường thẳng ${∆}_1$: và (C) tiếp xúc với hai đường thẳng ${∆}_2$: 3x+4y-1=0, ${∆}_3$: 3x-4y+2=0

Lời giải:

a) Phương trình (C) có tâm I(- 6; 2) bán kính 7 là: (x + 6)² + (y – 2)² = 7².

b) Bán kính của đường tròn (C) là: IA =|$\overrightarrow{IA}$| =$\sqrt{{\left(4-3\right)}^2+{\left(1+7\right)}^2}=\sqrt{65}$

Phương trình đường tròn là: (x-3)²+(y+7)² =65.

c) Bán kính của đường tròn chính bằng khoảng cách từ I đến đường thẳng d: 3x + 4y + 19 = 0.

Suy ra R=d(I,d)= =6

Phương trình đường tròn là: (x -1)² + (y – 2)² = 36.

d) Gọi I là tâm của đường tròn thì IA = R và I là trung điểm của AB

Suy ra I(-1; 2), IA =|$\overrightarrow{IA}$| =$\sqrt{{\left(-1+2\right)}^2+{\left(2-3\right)}^2}=\sqrt{2}$

Phương trình đường tròn là: (x +1)² + (y – 2)² = 2.

e) Tâm I thuộc đường thẳng ${∆}_1$: nên I(1 + t; 1 – t)

Đường tròn có 2 tiếp tuyến nên khoảng cách từ I đến 2 tiếp tuyến bằng nhau và bằng bán kính của đường tròn.

Ta có: d(I,${∆}_2$)=d(I,${∆}_3$)

$\iff$|t-6|=|7t+1|

Với t = $\frac{5}{8}$ thì I$\left(\frac{13}{8};\frac{3}{8}\right)$ và R = d(I; ∆₂) = . Khi đó phương trình đường tròn là: x−1382+y−382=43402.

Với t = $\frac{-7}{6}$ thì I$\left(-\frac{1}{6};\frac{13}{8}\right)$ và R = d(I; ∆₂) = . Khi đó phương trình đường tròn là: ${\left(x+\frac{1}{6}\right)}^2+{\left(y-\frac{13}{6}\right)}^2={\left(\frac{43}{30}\right)}^2$.

Xem thêm các dạng bài tập toán hay khác:

150 Bài tập phương trình đường thẳng (2024) có đáp án

2000 Bài tập Toán 10 phương pháp tọa độ trong mặt phẳng (có đáp án năm 2023)

250 Bài tập đường tròn trong mặt phẳng tọa độ (có đáp án năm 2023)

90 Bài tập về Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng, góc và khoảng cách (2024) có đáp án

100 Bài tập về Phương trình quy về phương trình bậc hai (có đáp án năm 2023)