30 Bài tập về Công thức liên hệ giữa vectơ chỉ phương và hệ số góc của đường thẳng (2024) có đáp án

Công thức liên hệ giữa vectơ chỉ phương và hệ số góc của đường thẳng 

1. Lý thuyết tổng hợp

- Định nghĩa hệ số góc của đường thẳng: Gọi A là giao điểm của đường thẳng d với trục Ox, T là điểm thuộc d nằm trên Ox, khi đó hệ số góc của đường thẳng d là $k=\tan \widehat{TAx}$.

- Định nghĩa vectơ chỉ phương: Vectơ $\overrightarrow{u}$ ($\overrightarrow{u}\ne 0$) là vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ nếu giá của vectơ $\overrightarrow{u}$ song song hoặc trùng với đường thẳng $\Delta$.

- Liên hệ giữa vectơ chỉ phương và hệ số góc của đường thẳng:

+ Nếu đường thẳng d có hệ số góc k thì có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=(1;k)$

+ Nếu đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=(a;b)$ với $a\ne 0$ thì có hệ số góc là $k=\frac{b}{a}$

2. Các công thức

Cho đường thẳng d có hệ số góc k và vectơ chỉ phương 

+) Cho k $\Rightarrow \overrightarrow{u}=(1;k)$

+) Cho $\overrightarrow{u}=(a;b)$ ($a\ne 0$) $\Rightarrow k=\frac{b}{a}$

3. Bài tập vận dụng (có đáp án)

Bài 1: Cho đường thẳng d: $\left\{\begin{array}{l}x=3-t\\ y=1+2t\end{array}\right.$. Tìm hệ số góc của đường thẳng d.

Lời giải:

Biết đường thẳng d: $\left\{\begin{array}{l}x=3-t\\ y=1+2t\end{array}\right.$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=(-1;2)$

$\Rightarrow$ Hệ số góc k của đường thẳng d là: $k=\frac{2}{-1}=-2$

Bài 2: Cho đường thẳng d: 3x – 2y + 3 = 0. Tìm hệ số góc k của đường thẳng d.

Lời giải:

Biết đường thẳng d: 3x – 2y + 3 = 0 có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=(3;-2)$ 

$\Rightarrow$ Vectơ chỉ phương của d là $\overrightarrow{u}=(2;3)$

$\Rightarrow$ Hệ số góc k của đường thẳng d là: $k=\frac{3}{2}$

Bài 3: Cho đường thẳng d có hệ số góc là k = 2 và đi qua điểm A(1; 1). Viết phương trình tham số của đường thẳng d.

Lời giải:

Biết d có hệ số góc là k = 2 $\Rightarrow$ Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là: $\overrightarrow{u}=(1;2)$

Đường thẳng d đi qua điểm A(1; 1), ta có phương trình tham số của d là $\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=1+2t\end{array}\right.$

Bài 4: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ biết ∆ đi qua điểm M( -1; 2) và có hệ số góc k = 3.

A. 3x - y - 1 = 0    B. 3x - y - 5 = 0    C. x - 3y + 5 = 0    D. 3x - y + 5 = 0

Lời giải:

Phương trình đường thẳng ∆ có hệ số góc k = 3 nên đường thẳng có dạng: y= 3x + c

Do điểm M(-1;2) thuộc đường thẳng ∆ nên : 2 = 3.(-1) + c ⇔ c= 5.

Vậy phương trình ∆: y = 3x + 5 hay 3x - y + 5 = 0

Chọn D.

Bài 5:  Viết phương trình đường thẳng ∆ biết ∆ đi qua điểm M(2; -5) và có hệ số góc    k = -2.

A. y = - 2x - 1    B. y = - 2x - 9.    C. y = 2x - 1    D. y = 2x - 9

Lời giải:

Phương trình đường thẳng có hệ số góc k = -2 nên đường thẳng có dạng: y = - 2x + c

Do điểm M(2; -5) thuộc đường thẳng ∆ nên : -5 = - 2.2 + c ⇔ c= -1.

Vậy phương trình ∆: y= - 2x - 1 .

Chọn A.

Bài 6: Viết phương trình đường thẳng d biết điểm A(1; -1) thuộc đường thẳng d và đường thẳng d tạo với trục x’Ox một góc 60⁰.

A. y =  (x-1)- 1

B. y = - √3(x - 1)

C. y = √3(x - 1) - 1 hoặc y = -  (x - 1) - 1

D. y = √3(x - 1) - 1 hoặc y = - √3(x - 1) - 1

Lời giải:

+ Do đường thẳng d tạo với trục x’Ox một góc 60⁰ nên hệ số góc của đường thẳng d là    k = tan60⁰ = √3 hoặc k = tan120⁰ = - √3

+ Nếu k = √3 thì đường thẳng (d) cần tìm là: y = √3(x - 1) - 1.

+ Nếu k = - √3 thì đường thẳng (d) cần tìm là: y = - √3(x - 1) - 1.

Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn là: (d₁) y = √3(x - 1) - 1 và (d₂): y = - √3(x - 1) - 1.

Lời giải:

Bài 7:  Viết phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ biết ∆ đi qua điểm M( -3; -9) và có hệ số góc k = 2

A. x - 2y - 15 = 0    B. 2x + y + 15 = 0    C. 2x - y + 5 = 0    D. 2x - y - 3 = 0

Lời giải:

Phương trình đường thẳng có hệ số góc k= 2 nên đường thẳng có dạng: y = 2x + c

Do điểm M(-3; -9) thuộc đường thẳng ∆ nên : - 9 = 2.(-3) + c ⇔ c= - 3

Vậy phương trình ∆: y = 2x - 3 hay 2x - y - 3 = 0

Chọn D.

Bài 8: Viết phương trình đường thẳng biết đi qua điểm M(1; 0) và có hệ số góc k = -1.

A. y= - x + 1    B. y = - x - 9.    C. y = x - 1    D. y = - x - 1

Lời giải:

Phương trình đường thẳng có hệ số góc k = -1 nên đường thẳng có dạng: y= - x + c

Do điểm M(1; 0) thuộc đường thẳng ∆ nên : 0 = -1 + c ⇔ c= 1.

Vậy phương trình ∆: y = - x + 1 .

Chọn A.

Bài 9: Viết phương trình đường thẳng d biết điểm A(2; 1) thuộc đường thẳng d và đường thẳng d tạo với trục x’Ox một góc 45⁰.

A. y = - x + 3    B. y = x + 1    C. y = x - 3 hoặc y = x + 1    D. y = x - 1 hoặc y = - x + 3

Lời giải:

+ Do đường thẳng d tạo với trục x’Ox một góc 45⁰ nên hệ số góc của đường thẳng d là k = tan45⁰ = 1 hoặc k = tan135⁰ = - 1

+ Nếu k = 1 thì đường thẳng (d) cần tìm là: y = 1.(x - 2) + 1 hay y = x - 1

+ Nếu k = -1 thì đường thẳng (d) cần tìm là: y = -1(x - 2)+ 1 hay y = - x + 3

Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn là: (d₁) y = x - 1 và (d₂): y = - x + 3

Chọn D.

4. Bài tập tự luyện

Bài 1: Cho đường thẳng d: $\left\{\begin{array}{l}x=1-3t\\ y=3+5t\end{array}\right.$. Tìm hệ số góc của đường thẳng d.

Bài 2: Cho đường thẳng d đi qua điểm B(0; 1) và có hệ số góc k = 4. Viết phương trình tham số của đường thẳng d.